背包問題集合
一般來說，動態規划（DP）都是初學者最難闖過的一關，而在這里詳細解說動態規划的一種經典題型：背包問題。
這里介紹的背包分為以下幾種：01背包，完全背包，多重背包，混合背包，二維費用的背包。（以后會持續更新）
【一：01背包】
首先放上例題：
01背包問題
【題目描述】：
一個旅行者有一個最多能裝M公斤的背包，現在有n件物品，他們的重量分別是W1，W2…Wn，它們的價值分別是C1，C2……Cn，求旅行者能夠獲得的最大總價值。
【輸入格式】：
第一行：兩個整數，M，（背包容量，M<=200）和N（物品數量N<=30）
第2至N+1行，每行兩個整數，Wi,Ci,表示每個物品的重量和價值。
【輸出格式】：僅一行，一個數，表示最大總價值。
【輸入樣例#1】：
10 4
2 1
3 3
4 5
7 9
【輸出樣例#1】：12
【輸入樣例#2】：
8 4
5 6
4 2
1 2
01背包問題可以說是最簡單的背包問題，簡單之處就在：他的每一個物品都只有一個。
首先定義一個f[MAXN][MAXN]數組，用來記錄最大價值。即：f[i][v]表示的就是當前i件物品放入一個容量為v的背包的時候可以獲得的最大價值。
01背包的狀態轉移方程式便是：f[i][v]=max(f[i-1][v],f[i-1][v-w[i]]+c[i])。
眾所周知DP問題最重要的便是狀態轉移方程式了，那么這個狀態轉移方程式究竟是怎么來的呢？？
詳解來啦“！！！
既然說了是“將第i件物品放入背包”，那么如果只考慮第i件物品的方式策略，那么就只和第i-1件物品有關了，如果是放第i件物品，那么問題就轉化為：“前i-1件物品放入容量為v的背包中”，此時能夠獲得的最大價值就是f[i-1][v-w[i]]，也就是第i-1件物品放入容量為v（原來的總容量）減去w[i]（第i件物品的占容）產生的最優價值，再加上放通過入第i件物品增加的價值c[i]。
那么放入第i件物品產生的最大價值就是要在”放“，或者是”不放“中選擇了，”不放“的話，產生的價值就是f[i-1][v]，”放“的話，產生的最大價值就是,f[i-1][v-w[i]]+c[i])。那么我們應該怎么選擇呢，很簡單，取最大的，就是產生的最大價值啦。
若物品數量為n，背包總容量為m，那么循環到最后，答案也就是f[n][m]啦。
那么附上代碼：：：
#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 0x7ff
using namespace std; int m,n,w[MAXN],c[MAXN]; int f[MAXN][MAXN],i,j;//f[i][v]表示第i件物品放入容量為v的背包所能產生的最大價值。
int maxn(int x,int y)//比較，輸出最大值
{ if(x>y) return x; else
return y; } int main() { cin>>m>>n; for(i=1;i<=n;i++) cin>>w[i]>>c[i];//輸入不解釋
for(i=1;i<=n;i++) for(j=m;j>0;j--) { if(w[i]<=j) f[i][j]=maxn(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+c[i]);//狀態轉移方程式。
else f[i][j]=f[i-1][j]; } cout<<f[n][m]; return 0; }
好了以上就是最簡單的01背包模板了qwq。
【二：完全背包問題】
還是例題打頭陣。
完全背包問題
【題目描述】
設有n種物品，每種物品有一個價值，但每種物品的數量是無限的，同時有一個背包，最大承載量微m，今從n種物品中選取若干件，（同一種物品可以多次選舉）使其重量的和小於等於m，而且價值的和最大。
【輸入】共N+1行
第一行：兩個整數：M（背包容量M<=200）和N（物品數量，N<=30）；
第二行至第N+1行，每行兩個整數，Wi，Ci，表示每個物品的重量和價值。
【輸出】
近一行：一個數，表示最大的價值；
【輸入樣例】
10 4
2 1
3 3
4 5
7 9
【輸出樣例】
12
有的小伙伴們可能一看到例題就會發現一個與01背包不同的地方：每種物品的數量是無限多的。沒錯，這就是完全背包問題。其實這個問題沒有比01背包難多少，只是不是很好想。
既然每種物品所取的數量可能是1,2,3.......，所以與它相關的策略便不是取或者不取的問題了，而是，取不取，取多少的問題了。既然同樣是背包問題，那么我們可不可以考慮延續01背包的方法來做呢，答案是Yes。其實與01背包不同的地方就是只有放進去的每種物品的件數不一定是1就是了，那么只要多一重關於每種物品取多少的循環不就可以了嗎。相對的，其狀態轉移方程式也要略有改動，變為：f[i][v]=max(f[i-1][v-k*w[i]]+k*c[i],f[i-1][v])，可見就是比01背包多了一個k而已，而這個k就是循環的這第i種物品取的件數。
現在解釋一下原因：首先我們想一下為甚么在上題中的01背包代碼中第二重循環是for(int j=m;j>=0;j--)而不是for(int j=1;j<+m;j++)呢？？（你就沒有懷疑過嗎？？
~~~）
Because~因為：要保證第i次循環里的狀態f[i][v]是由狀態f[i][[v-w[i]]遞推而來的，也就是為了保證每件物品只選一次，保證在考慮“選入第i件物品”這件策略時，依據的是一個絕不可能選入第i種物品的子結果f[i][v-w[i]]。如果如果還不是很明白，大家可以畫一個表格來自己推一下，看看逆序和正序時得到的結果有什么不同。。。。。。
好了重點來了！！ ： 現在大家已經知道了01背包的順序，那么現在問題來了：完全背包的順序呢？？
考慮“加選一件第i種物品”這種策略時，卻正需要一個可能已經選入第i種物品的子結果f[i][v=w[i]]，所以就可以並且必須采用v=0,.....v的順序循環，這就是則個簡單的程序何以成立的原因啦。
然后給大家附上代碼：： //不准抄襲！！
好吧像我這種蒟蒻代碼有誰會抄呢 呵呵~~
#include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; const int MAXN=31,MAXM=201; int m,n,w[MAXN],c[MAXN],f[MAXN][MAXM]; int main() { scanf("%d%d",&m,&n); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&w[i],&c[i]); for(int i=1;i<=n;i++) for(int v=1;v<=m;v++) if(v<w[i]) f[i][v]=f[i-1][v]; else {if(f[i-1][v]>f[i][v-w[i]]+c[i]) f[i][v]=f[i-1][v]; else f[i][v]=f[i][v-w[i]]+c[i];} printf("%d",f[n][m]); return 0; }//這個碼風不是很好看，大家看不慣可以改一改......
【三：多重背包問題】
好了依然是看例題：：
模板例題：慶功會
【題目描述】
設有n種物品，每種物品有一個價值，但每種物品的數量是有限的，同時有一個背包，最大承載量微m，今從n種物品中選取若干件，（同一種物品可以多次選舉）使其重量的和小於等於m，而且價值的和最大。
【輸入】共N+1行
第一行：兩個整數：N（物品數量，N<=30）和M（背包容量M<=200）
第二行至第N+1行，每行兩個整數，Wi，Ci，Si，分別表示每個物品的重量、價值、數量。
【輸出】
近一行：一個數，表示最大的價值；
【輸入樣例】
5 1000
80 20 4
40 50 9
30 50 7
40 30 6
20 20 1
【輸出樣例】
1040
這個題目就又不一樣了，因為題目中說的每一件物品的件數是“有限的”，也就是說可以是1、2......但也不是無限。
這個看起來可能就比較e xin，但是如果仔細想一想，其實也並不是很難。
（蒟蒻認為的）重點詳解：
做法1：和完全背包接軌：完全背包里面有一個k，用來表示物品的個數，這里面也是一樣的，因為對於第i種物品，我們可以設置他有n[i]+1種取數策略，：取0、1.....n[i]件，so我們再次設置一個f[i][v]表示前i種物品放入一個容量為v的背包所能產生的最大價值，那么：f[i][v]=max(f[i-1)[v-k*w[i]]+k*c[i],f[i-1][v]),那么復雜度就是O(V*Σn[i])。
顯然，上方做法時間復雜度太高。於是就有了第二個方法。
做法2：和01背包接軌。大家可能都覺得完全背包比01背包更要高大上一些，但是很不幸，做法2是要遠遠優於做法1的。先給大家一個引路思想，第i件物品有n[i]的數量，那么是不是可以把它轉化為n個數量只有一個的物品呢？？看到這里，你恍然大悟：哦，好巧妙。
而事實上，如果你只想到這里，就開始興奮無腦地開始打代碼的話，你就會呵呵進化成神犇了。。。。。你您可以算一算如果這樣做的話時間復雜度是多少：O(V*Σn[i]) ............
好極了，可是我並沒有在逗你啊
。。。。。
那么接下來就是優化了，在這里，我們考慮二進制優化。
方法：將第i件物品分成若干件物品，每個物品有一個系數l，這件物品的費用和價值軍事原來的費用和價值乘以l，使這些系數分別為1,2,4...2(k-1)余出來的再拿出來就是n[i]-2(k+1),且k是滿足n[i]-2(k+1)>0的最大整數。（例：13分為1,2,4,6）。
這樣就將第i件物品分成了O(logn[i)種物品，將時間復雜度降低成為了O(V*Σlogn[i])的01背包問題，改進是不是很大呢？
下面是代碼：
#include<iostream> #include<cstdio>
#define MAXN 10001
#define MAXM 6001
using namespace std; int v[MAXN],w[MAXN],f[MAXM]; int n,m,n1; int max(int a,int b) { if(a>b) return a; else return b; } int main() { scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;i++) { int x,y,s,t=1; scanf("%d%d%d",&x,&y,&s); while(s>=t) { v[++n1]=x*t; w[n1]=y*t; s-=t; t*=2; } v[++n1]=x*s; w[n1]=y*s; } for(int i=1;i<=n1;i++) for(int j=m;j>=v[i];j--) f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]); printf("%d\n",f[m]); return 0; }
【四：混合三種背包問題】
大概很多人一看到這個就淚奔了，對，沒錯，就是把01、完全、多重背包混合起來考你。你可能肯定覺得很惡心，覺得難極了，確實，對於沒有學過前幾種背包的人來說，這是一個很大的挑戰，但是不要忘了，我們已經學完了呀!所以，我哦們就可以很輕易地將這一個難題轉化為極個簡單的子題了！！
其實也不用怎么解釋了，先判斷該物品是不是屬於完全背包，if(YES)->用完全背包去做，if(NOT)->用混合背包去做（因為01背包本身即是多重背包的一個樣例，用多重背包做完全沒有問題的。）
好了下面附上代碼：
#include<iostream> #include<cstdio>
using namespace std; int m,n,w[31],c[31],p[31],f[201]; int max(int a,int b) { if(a>b) return a; else return b; } int main() { scanf("%d%d",&m,&n); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d%d",&w[i],&c[i],&p[i]); for(int i=1;i<=n;i++) if(p[i]==0) { for(int j=w[i];j<=m;j++) f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]); } else { for(int j=1;j<p[i];j++) for(int k=m;k>=w[i];k--) f[k]=max(f[k],f[k-w[i]]+c[i]); } printf("%d",f[m]); return 0; }
【五：二維費用的背包】
這又是一種新的背包問題了，顯而易見，他的費用是二維的。什么叫二維的呢？先來看一道例題，你就能明白了。
例題：潛水員
【問題描述】
潛水員為了潛水要使用特殊的裝備，他有一個帶2種氣體的氣缸，一個為氧氣，一個為氮氣，讓錢會員下潛的深度需要各種數量的氧和氮，潛水員有一定數量的氣缸，每個氣缸都有重量和氣體容量，潛水員為了完成她的工作需要特定的數量的氧和氮，他完成工作需要氣缸的總重的最低限度是多少？？
【輸入格式】
第一行：兩個整數，m，n，（1<=m<=21,1<=n<=79）。他們表示氧，氮各自需要的量。
第二行：為整數k（1<=k<=1000）表示氣缸的個數。
此后的k行每行包括一個ai,bi,ci，（1<=ai<=21,1<=bi<=79,c<=ci<=800）三個整數，分別表示第i個氣缸里的氧的容量，氮的容量，以及氣缸重量。
【輸出格式】
僅一行，包含一個整數，為重量和的最低值。
【輸入樣例】
5 60
5
3 36 120
10 25 129
5 50 250
1 45 130
4 20 119
【輸出樣例】
249
好的，我覺得大多數人可能都已經明白了什么叫二維了，在這個例題中，每一個氣缸油兩種不同的費用，選擇這件物品必須同時付出這兩種代價，對於每一種代價有一個背包容量，問怎么樣選擇物品可以得到最大的價值。
接下來不只針對例題，而是對於大多數二維背包題：
我們可以定義第i種物品的代價分別為a[i]和b[i],兩種背包容量分別為V和U，第i件物品的價值為c[i]。
那么顯而易見，我們的算法需要增加一維，那么就將我們的f再增加一維即可，那么就有了狀態轉移方程式：：
f[i][v][u]=max)f[i-1][v][u],f[i-1][v-a[i]][u-b[i]]+c[i])，當然，當物品只取一次是的時候變量v和u采取逆序循環。
但有的時候，很多良心的題經常是將二維背包以一種有一點隱晦的方式表示出來，例如：最多只能取M件物品，此時就又多了一個“件數”的費用，設f[v][m]表示付出費用v，最多選m件的時候可以得到的最大收入。之后便可以針對01、完全、多重背包采用不同的方式進行運算了。最后，在f[0 -> V][1 -> M]范圍內尋找答案。
然后，附上【潛水員】例題的代碼。
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #define MAXN 1001 #define MAXM 101 using namespace std; int v,u,k; int a[MAXN],b[MAXN],c[MAXN]; int f[MAXM][MAXM]; int main() { memset(f,127,sizeof(f)); f[0][0]=0; scanf("%d%d%d",&v,&u,&k); for(int i=1;i<=k;i++) scanf("%d%d%d",&a[i],&b[i],&c[i]); for(int i=1;i<=k;i++) for(int j=v;j>=0;j--) for(int l=u;l>=0;l--) { int t1=j+a[i],t2=l+b[i];; if(t1>v) t1=v; if(t2>u) t2=u; if(f[t1][t2]>f[j][l]+c[i]) f[t1][t2]=f[j][l]+c[i]; } printf("%d",f[v][u]); return 0; }
好了，關於背包問題就先說到這里（持續更新。。。），如果有不明白個或者錯誤的地方可以給我留言。。。