背包問題（01背包和完全背包）

　　背包問題是一個經典的動態規划模型，容易描述，容易理解。背包問題可簡單描述為：給定一組物品，每種物品都有自己的重量和價格，在限定的總重量內，我們如何選擇，才能使得物品的總價格最高。01背包問題的特點是，每種物品僅有一件，可以選擇放或不放。

01背包問題描述：

　　有N件物品和一個容量為V的背包。第i件物品的重量是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的重量總和不超過背包容量，且價值總和最大。

寫出狀態轉移方程：

　　f[i][v]=max{f[i-1][v], f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

f[i][v]:  前i件物品恰放入一個容量為v的背包可以獲得的最大價值

f[i-1][v]:  前i-1件物品……（同上），即不放入第i件物品的情況

f[i-1][v-c[i]]+w[i]:  放入第i件物品的情況，放入后的 f[i][v] 應該等於前 i-1 件物品在容量為 v-c[i] 上的最大價值加上 w[i]

空間優化：

　　f[i][v]=max{f[i-1][v], f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

　　觀察黑色字體部分，發現二維數組完全可以用一維數組替代：

　　f[v]=max{f[v], f[v-c[i]]+w[i]}

程序怎么寫？循環如何寫？

　　首先考慮如果所有的物品都能放進去，那一定就是最大價值，如果只能放進去 i （i<N）件物品，那一定要選擇一個最優策略，這個策略的結果是價值最大，而每個 i 的最優策略實際上又是基於 i-1 的最優策略的。根據分析寫出如下循環

　　for(i=0; i<N; ++i)

　　　　for(v=V; v>w[i]; --v)  //逆序推能夠保證 f[v-c[i]] 保存的是狀態是 f[i-1][v-c[i]] ，也就是每個物品只被使用了一次；順序的話 f[v-c[i]] 保存的是 f[i][v-c[i]] ，每個物品有可能被使用多次，也就是完全背包問題的解法。

　　　　　　f[v]=max(f[v], f[v-c[i]]+w[i])

poj上的3264題就是一道簡單的01背包問題，http://poj.org/problem?id=3624

我的代碼如下：

#include <stdio.h>
#define max(x, y) ((x)>(y) ? (x) : (y))
int w[3403];
int d[3403];
int f[13000];
int main()
{
    int i, j, n, m;
    int nMax = 0;
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for(i=0; i<n; ++i)
    {
        scanf("%d %d", &w[i], &d[i]);
    }
    for(i=0; i<n; ++i)
    {
        for(j=m; j>=w[i]; --j)
        {
            //printf("%d %d %d %d %d %d %d\n", __LINE__, j, i, f[j], w[i], d[i], f[j-w[i]]+d[i]);
            f[j] = max(f[j], f[j-w[i]]+d[i]);
        }
    }
    printf("%d\n", f[m]);
    return 0;
}

poj上1384是一道完全背包問題，不過該問題求解的最小值，跟求最大值的最主要區別是小心初始化狀態數組。http://poj.org/problem?id=1384

這里也給出代碼：

#include <stdio.h>
#define min(x, y) ((x)<(y) ? (x) : (y))
#define MAX_INT 10000000  
int p[501];
int w[501];
int f[10001];
int main()
{
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        int i, j, E, F, n, W;
        for(i=0; i<10001; ++i)
        {
            f[i] = MAX_INT;//注意初始化
        }
        f[0] = 0; //注意初始化
        scanf("%d %d", &E, &F);
        scanf("%d", &n);
        W = F-E;
        for(i=0; i<n; ++i)
        {
            scanf("%d %d", &p[i], &w[i]);
        }
        for(i=0; i<n; ++i)
        {
            for(j=w[i]; j<=W; ++j)
            {
                f[j] = min(f[j], f[j-w[i]] + p[i]);
            }
        }
        if(f[W] != MAX_INT)
        {
            printf("The minimum amount of money in the piggy-bank is %d.\n", f[W]);
        }
        else
        {
            printf("This is impossible.\n");
        }
    } 
    return 0;
}