【總結】01背包問題

（蒟蒻的總結並不能代表什么，只能說給以后的自己，防止后來忘記吧？？可能有不對的地方，請指出）

沒有算法標簽

在學習OI好幾個月后回來再看這個總結，發現原本寫的二維的是錯的，特此更正2019.6.18（開心的金明二維的痛）

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讓我們先附上一個01背包問題的基本題目：

給定 n 種物品和一個容量為 C 的背包，物品 i 的重量是 wi，其價值為 vi 。

問：應該如何選擇裝入背包的物品，使得裝入背包中的物品的總價值最大？

首先先是頭文件們以及定義們(還有輸入）：

#inlcude<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstring>
#incude<camth>//把我所記住的頭文件全寫上了（大家不要學我）； 
using namespace std;
int n,c;//定義物品數量及背包容量； 
int w[1000],v[1000];//定義數組w[i]和v[i]分別表示物品i的質量和價值(1000毫無意義）； 
int f[1000][1000];//定義數組f[i][j]存放第i個時的當前最大值（亂說胡話）； 
int main()
{
    cin>>n>>c;//輸入n，c； 
    for(int i=1;i<=n;i++)
    cin>>w[i]>>v[i];//輸入第1~n個物體的質量和價值 ； 
    

接下來是時候發揮數組f的作用了。數組f存的是搜索（不是搜索）第i個物品時的最大價值。利用雙層循環，設數組f[i][j]為第i個物品時恰好質量為j（這里有一點貪心？？？）的最大值，顯然到f[i][j]時有兩種可能：

1. 不選取第i個物品，則此時最大值為f[i-1][j]；
2. 選取第i個物品，則此時的最大值是f[i-1][j-w[i]]+v[i];（這里有必要解釋一下：因為選取第i個物品后恰好裝滿j的容積，那么在沒選取第i個物品時，恰好裝滿的是j-w[i]的容積。那么選取第i個物品之前的最大值就為f[i-1][j-w[i]]，這時再加上第i個物品的價值，得到結果。

顯然我們要取這兩種中最大的一種：利用函數max，則有：

for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=c;j>=0;j--)
        if(j-w[i]>=0)f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i]);
        else f[i][j]=f[i-1][j];

當循環結束時，我們就求得了最大總價值f[n][c];

這里附上表幫助理解：

 

 附上完整代碼：

#inlcude<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstring>
#incude<camth>//把我所記住的頭文件全寫上了（大家不要學我）； 
using namespace std;
int n,c;//定義物品數量及背包容量； 
int w[1000],v[1000];//定義數組w[i]和v[i]分別表示物品i的質量和價值(1000毫無意義）； 
int f[1000][1000];//定義數組f[i][j]存放第i個時的當前最大值（亂說胡話）； 
int main()
{
    cin>>n>>c;//輸入n，c； 
    for(int i=1;i<=n;i++)
    cin>>w[i]>>v[i];//輸入第1~n個物體的質量和價值 ； 
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=c;j>=0;j--){//從c開始倒敘搜索並j>=w[i]是為了防止出現負下標
        if(j-w[i]>=0)f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i]);
        else f[i][j]=f[i-1][j];
    cout<<f[n][c]<<endl;

顯然數組會很占空間，所以我們優化為一維數組（盡管沒太聽懂）：

 

#inlcude<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstring>
#incude<camth>//把我所記住的頭文件全寫上了（大家不要學我）； 
using namespace std;
int n,c;//定義物品數量及背包容量； 
int w[1000],v[1000];//定義數組w[i]和v[i]分別表示物品i的質量和價值(1000毫無意義）； 
int f[1000];//定義數組f[i][j]存放第i個時的當前最大值（亂說胡話）； 
int main()
{
    cin>>n>>c;//輸入n，c； 
    for(int i=1;i<=n;i++)
    cin>>w[i]>>v[i];//輸入第1~n個物體的質量和價值 ； 
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=c;j>=w[i];j--)
        f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);
    cout<<f[c]<<endl;//希望沒輸錯……

end-