前言
先貼一道模板題https://www.luogu.org/problemnew/show/P2495
題意，給你一棵n個點的有邊權樹，有m次詢問，每次詢問k個點，要刪除一些邊使得這k個點均不與1號點聯通。
數據范圍：2<=n<=250000,m>=1,sigma(ki)<=500000,1<=ki<=n-1；
考慮樹形dp
LL get_ans(int u){
bool leaf=1;
LL ret=0;
for (int p=head[u];p;p=nxt[p]){
ret+=get_ans(a[p]);
leaf=0;
}
head[u]=0;
if (del[u]){
del[u]=0;
return ff[u];
}
return min(ret,1ll*ff[u]);
}
ff表示我連向我父親的邊的邊權。
我是直接暴力dfs一遍，如果我這個點要刪除，那么一定是刪我的ff邊最優。
否則選擇刪我ff邊或者一個一個刪我的子節點
這樣dp一遍是O(n)的，但是m次詢問就T了，但是注意到sigma(k)並不大，於是虛樹閃亮登場了
介紹
虛樹就是把原樹中少量的有效節點和他們兩兩的lca拿出來，這樣就可以去除一些無效節點，從而降低復雜度。
如果有效節點是k個，那么虛樹中節點的個數是2*k個，為什么，請看下文。
實現
先講講如何建虛樹，在本題中，虛樹上的邊權就是原先這條路徑上邊權的min，因為你要刪肯定是刪最小邊最優。
先dfs一遍，求出基本信息。
void dfs(int u){
dfn[u]=++tim;
for (int p=head[u];p;p=nxt[p]){
int v=a[p];
if (v!=f[u][0]){
f[v][0]=u;
minn[v][0]=b[p];
dep[v]=dep[u]+1;
dfs(v);
}
}
}
先倍增求lca預處理好，倍增的時候最小值也處理好
for (int j=1;j<=20;j++){
for (int i=1;i<=n;i++) f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1],
minn[i][j]=min(minn[i][j-1],minn[f[i][j-1]][j-1]);
}
int lca(int x,int y){
if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
int tmp=dep[x]-dep[y];
for (int i=0;i<=20;i++){
if (tmp&(1<<i)) x=f[x][i];
}
if (x==y) return x;
for (int i=20;i>=0;i--){
if (f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i];
}
return f[x][0];
}
int dist(int x,int y){
if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
int tmp=dep[x]-dep[y],ret=1e9;
for (int i=0;i<=20;i++){
if (tmp&(1<<i)) ret=min(ret,minn[x][i]),x=f[x][i];
}
return ret;
}
然后把所有有效點按照dfn值排序，每次新加入一個節點，他最多會和前面的一個節點產生一個lca。
簡單證明一下，
設當前加入的節點x，與y節點產生了一個新的lca,lca1。
假設x還與z產生了一個新的lca,lca2，不妨假設dep[lca2]>dep[lca1] (不然交換y,z即可）
那么z,y的lca必定為lca1，所以假設不成立
這樣我們就證明了虛樹中節點個數是min(n,2*k)個的。
構建虛樹
維護一個棧，表示從根到棧頂元素的這條鏈
我們新加入一個節點記為x，鏈的末端，即棧頂，為p，lca為lca(x,p)，
有兩種情況:
1.p和x分立在lca的兩棵子樹下.
2.lca是p.
為什么lca不能是x?
因為如果lca是x,說明dfn[lca]=dfn[x]$ <$ dfn[p],而我們是按照dfs序號遍歷的,於是dfn[p]$ <$ dfn[x],矛盾.)
對於第二種情況,直接在棧中插入節點x即可,不要連接任何邊(后面會說為什么).
對於第一種情況,要仔細分析.
我們是按照dfn遍歷的(因為很重要所以多說幾遍......),有dfn[x]>dfn[p]>dfn[lca].
這說明什么呢? 說明一件很重要的事:我們已經把lca所引領的子樹中,p所在的子樹全部遍歷完了!
簡略的證明:如果沒有遍歷完,那么肯定有一個未加入的點h,滿足dfn[h]$ <$ dfn[x],
我們按照dfs序號遞增順序遍歷的話,應該把h加進來了才能考慮x.
這樣,我們就直接構建lca引領的,p所在的那個子樹. 我們在退棧的時候構建子樹.
p所在的子樹如果還有其它部分,它一定在之前就構建好了(所有退棧的點都已經被正確地連入樹中了),就剩那條鏈.
如何正確地把p到lca那部分連進去呢?
設棧頂的節點為p,棧頂第二個節點為q.
重復以下操作:
如果dfn[q]>dfn[lca],可以直接連邊q->p,然后退一次棧.
如果dfn[q]=dfn[lca],說明q=lca,直接連邊lca->p,此時子樹已經構建完畢.
如果dfn[q]$ <$ dfn[lca],說明lca被p與q夾在中間,此時連邊lca->p,退一次棧,再把lca壓入棧.此時子樹構建完畢
最后,為了維護dfs鏈,要把x壓入棧. 整個過程就是這樣
上面這個討論的過程來自chenhuan001的博客，把一些有小錯誤的地方改正了，我就是看着這個學會的，講的非常清楚。
還不明白的可以結合代碼
void insert(int x){
if (!top){
st[++top]=x;
return;
}
int ll=lca(st[top],x);
while (dep[st[top-1]]>dep[ll]&&top>1){
add(st[top-1],st[top],dist(st[top-1],st[top]));
top--;
}
if (dep[ll]<dep[st[top]]){
add(ll,st[top],dist(ll,st[top]));
top--;
}
if (!top||dep[st[top]]<dep[ll]) st[++top]=ll;
st[++top]=x;
}
那我們把虛樹建出來后，用最前面講的dp跑一邊就好了。
好了，
以上就是我個人對虛樹的一些理解，希望可以幫助大家學習，如果還有疑問可以給我留言，或者到我好友的博客看更詳細的代碼和建樹過程的描述。
https://blog.csdn.net/zhouyuheng2003/article/details/79110326
謝謝。