什么是珂朵莉樹
珂朵莉樹，又稱\(Old Driver Tree(ODT)\)（老司機樹）。
是一種基於\(set\)的暴力數據結構。
因此，再學習珂朵莉樹之前，要掌握一些\(set\)和迭代器的知識
珂朵莉樹的適用范圍
線段樹能干的它都能干（只要你不怕T）
使一整段區間內的東西變得一樣，數據隨機
比如下面這一道題
起源題：CF896C
題目描述
分析
如果只有前\(3\)個操作，那么別的數據結構似乎還可以使用
但是第\(4\)個操作是把區間中的每一個數拿出來進行運算
這樣的操作其它數據結構很難勝任
這時我們就要用到珂朵莉樹
定義
珂朵莉樹是把連續的一段值相同的區間當作一個節點對待
因此節點定義如下
struct asd{
ll l,r;
//節點的左右端點
mutable ll val;
//節點的權值，如果不加mutable則在初始化后無法進行修改
bool operator < (const asd& A)const{
return l<A.l;
}
//按照左端點從小到大的順序排序
asd(ll aa,ll bb,ll cc){
l=aa,r=bb,val=cc;
}
asd(ll aa){
l=aa;
}
};
核心操作 Split
這個操作的主要作用是將一個區間拆分開
比如我們要查詢區間\([3,7]\)，但是\(3\)到\(7\)並不是一個節點，因此我們要把它們從原有的節點中拆分出來
#define sit set<asd>::iterator
首先，我們要宏定義\(set\)的迭代器
如果你不怕麻煩每次手打也可以
然后，我們再通過\(set\)建立一棵樹
set<asd> s;
(set是C++自帶的平衡樹，這就是珂朵莉樹是一棵樹的原因）
最后是代碼
sit Split(ll wz){
//返回值類型為迭代器
sit it=s.lower_bound(asd(wz));
//查找第一個左端點編號大於等於wz的節點
if(it!=s.end() && it->l==wz) return it;
//如果該節點的左端點是我們要分裂的節點，直接返回
it--;
//否則分裂上一個
ll l=it->l,r=it->r,val=it->val;
s.erase(it);
//將該節點拆分為兩個
s.insert(asd(l,wz-1,val));
return s.insert(asd(wz,r,val)).first;
//返回分裂位置的迭代器
}
復雜度的保證Assign
將一個區間推平，賦成相同的值
void Assign(ll l,ll r,ll val){
sit it2=Split(r+1),it1=Split(l);
s.erase(it1,it2);
//刪除區間[l,r+1)中所有的節點
s.insert(asd(l,r,val));
//插入新節點
}
其它操作
一個比一個暴力
區間加
把\([l,r]\)中的節點取出，分別加上就好了
這里有一個細節必須注意，必須先聲明\(it2\)再聲明\(it1\)
否則根據\(split\)中的\(erase\)操作，迭代器\(it1\)可能會失效。
（因為\(it1\)所屬的節點可能被刪除了）
void ad(ll l,ll r,ll val){
sit it2=Split(r+1),it1=Split(l);
for(sit it=it1;it!=it2;++it){
it->val+=val;
}
}
區間第k小
把\([l,r]\)中的節點取出,\(sort\)一下就行了
ll kth(ll l,ll r,ll k){
sit it2=Split(r+1),it1=Split(l);
vector<pair<ll,ll> >a;
a.clear();
for(sit it=it1;it!=it2;it++){
a.push_back(make_pair(it->val,it->r-it->l+1));
}
sort(a.begin(),a.end());
for(ll i=0;i<a.size();i++){
k-=a[i].second;
if(k<=0) return a[i].first;
}
}
區間冪次和
暴力維護+快速冪
ll ksm(ll ds,ll zs,ll mod){
ll now=ds%mod,ans=1;
while(zs){
if(zs&1) ans=ans*now%mod;
now=now*now%mod;
zs>>=1;
}
return ans%mod;
}
ll cx(ll l,ll r,ll x,ll y){
sit it2=Split(r+1),it1=Split(l);
ll ans=0;
for(sit it=it1;it!=it2;it++){
ans=(ans+(it->r-it->l+1)*ksm(it->val,x,y)%y)%y;
}
return ans;
}
完整代碼
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define sit set<asd>::iterator
const ll maxn=1e6+5;
struct asd{
ll l,r;
mutable ll val;
bool operator < (const asd& A)const{
return l<A.l;
}
asd(ll aa,ll bb,ll cc){
l=aa,r=bb,val=cc;
}
asd(ll aa){
l=aa;
}
};
set<asd> s;
sit Split(ll wz){
sit it=s.lower_bound(asd(wz));
if(it!=s.end() && it->l==wz) return it;
it--;
ll l=it->l,r=it->r,val=it->val;
s.erase(it);
s.insert(asd(l,wz-1,val));
return s.insert(asd(wz,r,val)).first;
}
void Assign(ll l,ll r,ll val){
sit it2=Split(r+1),it1=Split(l);
s.erase(it1,it2);
s.insert(asd(l,r,val));
}
void ad(ll l,ll r,ll val){
sit it2=Split(r+1),it1=Split(l);
for(sit it=it1;it!=it2;++it){
it->val+=val;
}
}
ll kth(ll l,ll r,ll k){
sit it2=Split(r+1),it1=Split(l);
vector<pair<ll,ll> >a;
a.clear();
for(sit it=it1;it!=it2;it++){
a.push_back(make_pair(it->val,it->r-it->l+1));
}
sort(a.begin(),a.end());
for(ll i=0;i<a.size();i++){
k-=a[i].second;
if(k<=0) return a[i].first;
}
}
ll ksm(ll ds,ll zs,ll mod){
ll now=ds%mod,ans=1;
while(zs){
if(zs&1) ans=ans*now%mod;
now=now*now%mod;
zs>>=1;
}
return ans%mod;
}
ll cx(ll l,ll r,ll x,ll y){
sit it2=Split(r+1),it1=Split(l);
ll ans=0;
for(sit it=it1;it!=it2;it++){
ans=(ans+(it->r-it->l+1)*ksm(it->val,x,y)%y)%y;
}
return ans;
}
ll n,m,mmax,seed;
ll rnd(){
ll ret=seed;
seed=(seed*7+13)%1000000007;
return ret;
}
int main(){
scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&seed,&mmax);
for(ll i=1;i<=n;i++){
ll aa=rnd()%mmax+1;
s.insert(asd(i,i,aa));
}
s.insert(asd(n+1,n+1,0));
for(ll i=1;i<=m;i++){
ll l,r,x,y;
ll op=rnd()%4+1;
l=rnd()%n+1,r=rnd()%n+1;
if(l>r) swap(l,r);
if(op==3) x=rnd()%(r-l+1)+1;
else x=rnd()%mmax+1;
if(op==4) y=rnd()%mmax+1;
if(op==1) ad(l,r,x);
else if(op==2) Assign(l,r,x);
else if(op==3) printf("%lld\n",kth(l,r,x));
else printf("%lld\n",cx(l,r,x,y));
}
return 0;
}
復雜度證明
其它題目
\(CF343D\ Water\ Tree\)(珂朵莉樹上樹)
\(CF915E\ Physical\ Education\ Lessons\)（正解為動態開點線段樹）
\(P4979\) 礦洞：坍塌
\(P1558\) 色板游戲
\(P3740\) 貼海報
\(P5350\) 序列
\(P1204\) 擠牛奶 \(Milking\ Cows\)