虛樹

虛樹看起來很簡單的樣子。

事實上也的確很簡單。

我們先來知道一下虛樹是用來干什么的。

對於一個問題，我們知道他可以做樹型\(dp\)

\(dp\)的類型大致是給你\(k\)個關鍵點，而\(dp\)的結果與這些關鍵點有關系

有\(m\)組詢問，需要你對於每組詢問進行回答。

並且有條件\(\sum k\)與\(n\)是同階的。

如果每次對於所有點都做一遍\(dp\)，復雜度達到了\(O(nm)\)

所以，我們需要把復雜度往\(\sum k\)上靠。

這樣，就有了虛樹。

我們仔細想想，每次\(dp\)的時候是否真的所有點都需要計算呢？

答案顯然是不。我們只需要計算那些對於答案有影響的點。

再來思考一下哪些點對於答案有影響呢？

關鍵點顯然是有影響的。

同時，\(dp\)的時候顯然需要合並答案，因此，關鍵點之間的\(LCA\)也是有影響的

所以，我們構建的虛樹包括兩種點：關鍵點，\(LCA\)，還需要一個毫無關系的節點作為根節點來合並最后的答案。

因此，構建虛樹就相當於把這些點拿出來，然后按照原樹中的方式連接好就行了。

怎么做呢？

先考慮怎么求出\(LCA\)，顯然不可能\(O(k^2)\)去求

事實上，我們只需要把關鍵點按照\(dfs\)序(\(dfn\))排序，然后把相鄰點的\(LCA\)求出來就好了

這樣子，我們最多可能拿到\(2k\)個點（所以注意一下數組的大小，是\(2\)倍）

現在考慮怎么構建。

把現在所有的點按照\(dfn\)排序，維護一個棧，棧中的點全部在同一條鏈上，節點的深度從棧頂到棧底遞減。

對於新加入的一個節點，檢查新的節點是否在棧頂節點的子樹中，

如果在，直接加入棧中，仍然滿足鏈的性質，並且棧頂就是當前點在虛樹上的父親。

證明？因為已經按照\(dfn\)排序，因此一條鏈肯定從上至下依次出現。

如果當前點不在棧頂節點的子樹中，證明當前棧頂節點的子樹中已經沒有虛樹中的點了

直接把它彈出來，繼續檢查即可。

這樣我們就構建出了虛樹了。

大致的代碼如下：

sort(&p[1],&p[K+1],cmp);
for(int i=K;i>1;--i)p[++K]=LCA(p[i],p[i-1]);p[++K]=1;
sort(&p[1],&p[K+1],cmp);K=unique(&p[1],&p[K+1])-p-1;
for(int i=1,top=0;i<=K;++i)
{
	while(top&&low[S[top]]<dfn[p[i]])--top;
	Add(S[top],p[i],0);S[++top]=p[i];
}

至於虛樹要怎么用？？？

那就因題而異了。