前言
在高中數學教學實踐中，有一種使用頻度比較高的數學方法，叫分離參數法，她和許多數學素材有關聯，高三學生大多都耳熟能詳，但對其具體的來由和需要注意的問題卻不是很清楚，本博文試着對此做個總結，以廓清我們認識上的誤區，幫助我們提高教學，也幫助學生順利掌握這一方法。
方法定義
[法1]：二次函數法，由於\(\Delta=a^2+8>0\)，故不需要考慮\(\Delta<0\)的情形，
只需要考慮對稱軸\(x=-\cfrac{a}{2}\)和給定區間\([1，5]\)的相對位置關系
當\(-\cfrac{a}{2}\leq 1\)時，即\(a\geqslant -2\)時，函數\(f(x)\)在區間\([1,5]\)單調遞增，
所以\(f(x)_{min}=f(1)=1+a-2\geqslant 0\),解得\(a\geqslant 1\)，又因為\(a\geqslant -2\)，所以得到\(a\geqslant 1\)。
當\(-\cfrac{a}{2}\ge 5\)時，即\(a\leqslant -10\) 時，函數\(f(x)\)在區間 \([1,5]\)單調遞減，
所以\(f(x)_{min}=f(5)=25+5a-2\ge 0\),解得\(a\ge -\cfrac{23}{5}\)，
又因為\(a\leq -10\)，所以得到\(a\in\varnothing\)。
當\(1<-\cfrac{a}{2}<5\)，即\(-10<a<-2\)時，\(f(x)min=f(-\cfrac{a}{2})=\cfrac{a^2}{4}-\cfrac{a^2}{2}-2≥0\)，
得到\(a\in\varnothing\)。（這種情形可以省略）
綜上可得\(a\geqslant 1。\)即\(a\)的取值范圍是\([1，+\infty)\)
[法2]：兩邊同時除以參數\(a\)的系數\(x\)(由於\(x\in [1，5]\)，不等號方向不變)，得到
\(a\geqslant \cfrac{2}{x}－x\)在區間 \([1，5]\)上恆成立, 令\(g(x)=\cfrac{2}{x}－x\)，
則利用函數單調性的結論，可以看到\(g(x)=\cfrac{2}{x}－x\)在區間 \([1，5]\)上單調遞減，
所以\(g(x)_{max}=g(1)=1\)，所以\(a\geqslant 1\)，即\(a\)的取值范圍是\([1，+\infty)\)
相比較而言，法2比法1要簡單快捷的多，其使用的策略是將參數和自變量分離開，故這樣的方法自然就叫分離參數法。
使用場景
【法1】：不完全分離參數法，定義域為\((0，+\infty)\)，轉化為方程\(kx^2=lnx\)有兩個不同的實數根，
再轉化為函數\(y=kx^2\)與函數\(y=lnx\)的圖像有兩個不同的交點，
如圖設兩個函數的圖像相切於點為\((x_0，y_0)\)，
則有關系式\(\begin{cases}2kx_0=\cfrac{1}{x_0}①\\kx_0^2=y_0②\\y_0=lnx_0③\end{cases}\)， 從哪些角度列[1]
有①得到\(2kx_0^2=1\)，代入②式，解得\(y_0=\cfrac{1}{2}，x_0=\sqrt{e}\)，即切點為\((\sqrt{e}，\cfrac{1}{2})\)，
再代入函數\(y=kx^2\)，求得此時的\(k=\cfrac{1}{2e}\)，
再結合函數\(y=kx^2\)的系數\(k\)的作用，可得兩個函數要有兩個不同的交點，
則\(k\in(0，\cfrac{1}{2e})\)。 故選\(D\).
【法2】：完全分離參數法，定義域為\((0，+\infty)\)，轉化為方程\(kx^2=lnx\)有兩個不同的實數根，
再轉化為\(k=\cfrac{lnx}{x^2}\)有兩個不同的實數根，
再轉化為函數\(y=k\)和函數\(y=g(x)=\cfrac{lnx}{x^2}\)的圖像有兩個不同的交點，
用導數研究函數\(g(x)\)的單調性，\(g'(x)=\cfrac{\cfrac{1}{x}\cdot x^2-lnx\cdot 2x}{(x^2)^2}=\cfrac{1-2lnx}{x^3}\)，
令\(1-2lnx>0\)，得到\(0< x<\sqrt{e}\)，令\(1-2lnx<0\)，得到\(x >\sqrt{e}\)，
即函數\(g(x)\)在區間\((0，\sqrt{e}]\)上單調遞增，在\([\sqrt{e}，+\infty)\)上單調遞減，
故\(g(x)_{max}=g(\sqrt{e})=\cfrac{1}{2e}\)，
作出函數\(g(x)\)和函數\(y=k\)的簡圖，由圖像可得\(k\)的取值范圍是\(k\in(0，\cfrac{1}{2e})\)。 故選\(D\).
- 從上述的解法中我們體會到，如果一個數學題目從數的角度直接來求解，結果很有可能要么不會求解，要么解不出，更或者沒有思路；此時若換個角度思考，從形入手分析，將參數或含有參數的代數式(比如\(k+1\))和自變量分別放置在等號的兩端，即\(k=f(x)\)的形式，然后數的問題就轉化為形的問題了，從而直觀快捷，思路簡單明了。
一句話，當我們從形的角度入手分析解題時，接下來使用的方法常常是分離參數法。
常見類型
- ①完全分離參數法：如\(\lambda f(x)=g(x)\Rightarrow \lambda=\cfrac{g(x)}{f(x)}\)；
引例，已知函數\(f(x)=kx^2-lnx\)有兩個零點，求參數\(k\)的取值范圍，用常規法分離參數，即得到方程\(k=\cfrac{lnx}{x^2}\)有兩個不同實根，具體解法鏈接
分析：由題目可知，\(f'(x)≥0\)在\((1，+∞)\)上恆成立，且\(f'(x)\)不恆為零，
則有\(f'(x)=\cfrac{m}{x}+2x-m=\cfrac{2x^2-mx+m}{x}≥0\)在\((1，+∞)\)上恆成立，
即\(2x^2-mx+m≥0\)在\((1，+∞)\)上恆成立，常規法分離參數得到
\(m≤\cfrac{2x^2}{x-1}=\cfrac{2(x-1)^2+4x-2}{x-1}=\cfrac{2(x-1)^2+4(x-1)+2}{x-1}=2(x-1)+\cfrac{2}{x-1}+4\)
由於\(x>1\)，故\(2(x-1)+\cfrac{2}{x-1}+4≥2\sqrt{4}+4=8\)，當且僅當\(x=2\)時取到等號。
故\(m≤8\)，當\(m=8\)時，函數不是常函數，也滿足題意，故\(m\in (-\infty，8]\)。
- ②倒數法分離參數：如\(\lambda f(x)=g(x)\Rightarrow \cfrac{1}{\lambda}=\cfrac{f(x)}{g(x)}\)；
引例，方程\(kx^2=e^x\)，若常規法分離參數得到\(k=\cfrac{e^x}{x^2}\)，就沒有倒數法分離為\(\cfrac{1}{k}=\cfrac{x^2}{e^x}\)優越，
原因是函數\(y=\cfrac{e^x}{x^2}\)在\(x=0\)處有斷點，而函數\(y=\cfrac{x^2}{e^x}\)在\(x\in R\)上是處處連續的，函數相對簡單一些。
分析：不妨設\(m>n\)，則函數\(f_1(x)\)在區間\([0，1]\)上單調遞增，故\(f_1(m)-f_1(n)>0\)，
又\(f_2(x)=a(x-1)^2+b-a\)，對稱軸是\(x=1\)，開口向上，
故函數\(f_2(x)\)在區間\([0，1]\)上單調遞減，故\(f_2(m)-f_2(n)<0\)，
這樣對任意的\(m，n\in [0，1](m>n)\)，\(|f_1(m)-f_1(n)|>|f_2(m)-f_2(n)|\)恆成立，
就可以轉化為\(f_1(m)-f_1(n)>f_2(n)-f_2(m)\)恆成立，
即\(f_1(m)+f_2(m)>f_1(n)+f_2(n)\)恆成立，
令\(h(x)=f_1(x)+f_2(x)=e^x+ax^2-2ax+b\)，
則到此的題意相當於已知\(m>n\)時，\(h(m)>h(n)\)，
故函數\(h(x)\)在區間\([0，1]\)上單調遞增，故\(h'(x)≥0\)在區間\([0，1]\)上恆成立；
即\(h'(x)=e^x+2ax-2a≥0\)在區間\([0，1]\)上恆成立；
即\(2a(1-x)≤e^x\)恆成立，這里我們使用倒數法分離參數得到，
\(\cfrac{1}{2a}≥\cfrac{1-x}{e^x}\)在區間\([0，1]\)上恆成立；
再令\(p(x)=\cfrac{1-x}{e^x}\)，即需要求\(p(x)_{max}\)，
\(p'(x)=\cfrac{-1×e^x-(1-x)e^x}{(e^x)^2}=\cfrac{x-2}{e^x}\)，
容易看出，當\(x∈[0，1]\)時，\(p'(x)<0\)恆成立，故\(p(x)\)在區間\([0，1]\)上單調遞減，
則\(p(x)_{max}=p(0)=1\)，故\(\cfrac{1}{2a}≥1\)，又\(a>0\)，
故解得\(0<a≤1\)。故\(a_{max}=1\).
- ③討論法分離參數：如\(\lambda f(x)\ge g(x)\)；
比如，\(\lambda(x-1)\ge 2lnx\)對任意的\(x\in(0，1]\)恆成立，接下來分\(x=1\)和\(0<x<1\)分類討論分離參數，具體見博文的后半部分的對應例題。
分析：對任意\(x>0\)且\(x\neq 1\)，不等式\(\cfrac{x-m}{lnx}>\sqrt{x}\)恆成立等價於
當\(0<x<1\)時，\(m>x-\sqrt{x}lnx①\)恆成立，或者當\(x>1\)時，\(m<x-\sqrt{x}lnx②\)恆成立，
令\(h(x)=x-\sqrt{x}lnx(x>0，x\neq 1)\)，\(h'(x)=\frac{2\sqrt{x}-lnx-2}{2\sqrt{x}}\)
令\(\phi(x)=2\sqrt{x}-lnx-2\)，則\(\phi'(x)=\frac{\sqrt{x}-1}{x}\)；
易知\(\phi(x)\)在\((0，1)\)上單調遞減，在\((1，\infty)\)上單調遞增，
所以\(\phi(x)>\phi(1)=0\)，即得到\(h'(x)>0\)，
因此由①式可得，\(m\ge h(1)=1\)，由②式得\(m\leq h(1)=1\)
取兩種結果的交集，所以\(m=1\)。
故不等式\(\cfrac{x-m}{lnx}>\sqrt{x}\)恆成立的充要條件是\(m=1\)。
- ④整體法分離參數：如\(\lambda^2+2\lambda=f(x)\)；
分析：由題目可知，命題“\(\neg P：\forall x\in R，2^x-2> a^2-3a\)”是真命題，
即\(2^x-2> a^2-3a\)對\(\forall x\in R\)恆成立，故\((2^x-2)_{min}>a^2-3a\)，
只需求\((2^x-2)_{min}\)，而\(2^x-2>-2\)，則有\(-2\ge a^2-3a\)，即\(a^2-3a+2\leq 0\)，
解得\(1\leq a\leq 2\)，故實數\(a\)的取值范圍是\([1，2]\)。
分析：先由\(f(1-x)=f(1+x)\)得到，二次函數的對稱軸\(x=-\cfrac{a}{-2}=1\)，解得\(a=2\)，
故題目轉化為\(-x^2+2x+b^2-b+1>0\)對任意\(x\in [-1,1]\)恆成立，
用整體法分離參數，得到\(b^2-b>x^2-2x-1\)對任意\(x\in[-1,1]\)恆成立。
令\(g(x)=x^2-2x-1，x\in[-1,1]\)，需要求函數\(g(x)_{max}\)；
\(g(x)=x^2-2x-1=(x-1)^2-2，x\in[-1，1]\)，
故\(g(x)\)在區間\([-1，1]\)上單調遞減，則\(g(x)_{max}=g(-1)=2\)，
故\(b^2-b>2\)，解得\(b<-1\)或\(b>2\)。
法2：還可以利用對稱軸與給定區間的關系求解；
- ⑤不完全分離參數法：如\(kx^2=lnx\)；
比如，已知函數\(f(x)=kx^2-lnx\)有兩個零點，求參數\(k\)的取值范圍，用不完全分離參數法，即得到方程\(kx^2=lnx\)有兩個不同實根，具體解法鏈接
局限之處
並不是所有的含參問題都適合分離參數，比如\(ax^2-a^2x+3<0\)在區間\([1,2]\)上恆成立，求\(a\)的范圍，就不能用分離參數的方法，因為你沒法將參數和自變量有效的分開，所以此時你可能需要借助二次函數的圖像來考慮，而不是一味的使用分離參數法。
一般來說，以下的一些情形都不適合使用分離參數法：
- (1)不能將參數和自變量有效的分離開的；
比如，已知方程\(e^{-x}=ln(x+a)\)在\(x>0\)時有解，求參數的取值范圍；
本題目就不能將參數和自變量有效的分離開的，此時我們就可以考慮用數形結合的思路求解。解法
- (2)如果參數的系數能取到正、負、零三種情形的，
引例，已知函數\(f(x)=x^2+ax-2a\ge 0\)對\(x\in [1，5]\)上恆成立，求參數\(a\)的取值范圍。
如果用分離參數的方法，則先轉化為\((x-2)a\ge -x^2，x\in [1，5]\)
接下來就轉化成了三個恆成立的命題了，不管會不會做，從效率上都已經很不划算了。具體的解法已經隱藏。
- (3)分離參數后，得到的新函數變得復雜無比的；
比如函數\(f(x)=x^2-2x+a(e^{x-1}+e^{-x+1})\)有唯一的零點，分離參數后，得到\(a=\cfrac{-x^2+2x}{e^{x-1}+e^{-x+1}}=h(x)\)，
你確信你能研究清楚函數\(h(x)\)的性質，並用手工做出函數的圖像嗎？省省吧，您吶。
- (4)分離參數后，得到的新函數中有\(sinx\)和\(cosx\)的，他們都有無窮階導數，所以求導會一直做下去，一般不會使得函數式變得簡單。
比如已知\(2a-1+sin2x+a(sinx-cosx)\ge 0\)在\(x\in [0，\cfrac{\pi}{2}]\)上恆成立，求參數\(a\)的取值范圍。\([1，+\infty)\)
接下來的思路有：
思路一：分離參數，當分離為\(a\ge \cfrac{1-sin2x}{2+sinx-cosx}=g(x)\)時，你會發現，求函數\(g(x)_{max}\)很難，所以放棄；
思路二：轉化划歸，令\(sinx-cosx=t=\sqrt{2}sin(x-\cfrac{\pi}{4})\)，由於\(x\in [0，\cfrac{\pi}{2}]\)，故\(t\in [-1，1]\)
由\((sinx-cosx)^2=t^2\)，得到\(sin2x=1-t^2\)，故不等式轉化為\(at+1-t^2+2a-1\ge 0\)，
即\(t^2-at-2a\leq 0\)在\(t\in [-1，1]\)上恆成立，令\(h(t)=t^2-at-2a，t\in [-1，1]\)，
則\(h(t)\leq 0\)等價於\(\begin{cases}h(-1)=1+a-2a\leq 0\\h(1)=1-a-2a\leq 0 \end{cases}\)，解得\(a\ge 1\)，
- (5)看題目的選項確定方法
法1：先考慮分離參數法，若能成功分離參數，那么得到的形式必然是\(m>g(x)\)或\(m<g(x)\)的形式，接下來需要求解函數\(g(x)\)的最值，其必然是數字化的，則結果和給定的選項的形式是不一致的，故這個思路做了大致分析后放棄；
法2：由函數\(f(x)>0\)恆成立，則需要求在\((0，+\infty)\)上的函數\(f(x)_{min}>0\)即可，故考慮用導數方法；
\(f'(x)=\cfrac{(x+1)[mx+(1-m)]}{x^2}\)， 故函數在\(x=\cfrac{m-1}{m}\)處取到最小值，則要使得函數\(f(x)>0\)恆成立，只需要\(f(\cfrac{m-1}{m})>0\)即可，
對此化簡整理得到，正實數\(m\)應該滿足\(\cfrac{m-1}{m}\cdot e^{2m-1}>1\)，故選\(C\)。
解后反思：本題目的解法有點漏洞，條件中應該使得\(m>1\)，而不僅僅是\(m>0\)，否則當\(0<m\leq 1\)時，函數\(f(x)\)在\((0，+\infty)\)上單調遞增，其最小值的極限為\(f(0)\)，題目就有了問題。
策略延伸
在具體的解題實踐中，我們會發現絕大多數的題目可以用分離參數法解決，但是如果簡單嘗試后發現此法行不通，則需要及時調整解題思路和策略，比如做差構造新函數的思路。
已知函數\(f(x)=x^2-ax\)，\(g(x)=mx+nlnx\)，函數\(f(x)\)的圖像在點\((1，f(1))\)處的切線的斜率為\(1\)，函數\(g(x)\)在\(x=2\)處取到極小值\(2-2ln2\)；
(1)求函數\(f(x)\)與\(g(x)\)的解析式；
分析：由題可知\(f'(x)=2x-a\)，又\(f'(1)=2-a=1\)，解得\(a=1\)，即\(f(x)=x^2-x\)；
又\(g'(x)=m+\cfrac{n}{x}\)，由\(g'(2)=m+\cfrac{n}{2}=0\)及\(g(2)=2m+nln2=2-2ln2\)，解得\(m=1，n=-2\)，即\(g(x)=x-2lnx\)；
(2)已知函數\(f(x)+g(x)\ge x^2-\lambda(x-1)\)對任意的\(x\in(0，1]\)恆成立，求實數\(\lambda\)的取值范圍。
分析：由於\(f(x)+g(x)=x^2-2lnx\)，則\(x^2-2lnx\ge x^2-\lambda(x-1)\)對任意的\(x\in(0，1]\)恆成立，可以有以下的思路：
法1：帶參分析法，先令\(h(x)=\lambda(x-1)-2lnx\)，則問題轉化為\(h(x)\ge 0\)對任意的\(x\in(0，1]\)恆成立，
\(h'(x)=\lambda-\cfrac{2}{x}=\cfrac{\lambda x-2}{x}\)
當\(\lambda\leq 0\)時，\(h'(x)<0\)，\(h(x)\)在區間\((0，1]\)上單調遞減，
\(h(x)_{min}=h(1)=0\)，即\(h(x)\ge 0\)恆成立；
當\(0<\lambda \leq 2\)時，\(h'(x)<0\)，\(h(x)\)在區間\((0，1]\)上單調遞減，
\(h(x)_{min}=h(1)=0\)，即\(h(x)\ge 0\)恆成立；
當\(\lambda>2\)時，\(h'(x)<0\)在\((0，\cfrac{2}{\lambda})\)上恆成立，\(h'(x)>0\)在\((\cfrac{2}{\lambda}，1)\)上恆成立，
即\(h(x)\)在\((0，\cfrac{2}{\lambda})\)單調遞減，在\((\cfrac{2}{\lambda}，1)\)上單調遞增，
所以\(h(\cfrac{2}{\lambda})<h(1)=0\)，故不滿足題意，注意\(h(1)=0\)，即函數\(h(x)\)恆過點\((1，0)\)
綜上所述，實數\(\lambda\)的取值范圍為\((-\infty，2]\)。
法2：討論法分離參數，先轉化為\(\lambda(x-1)\ge 2lnx\)對任意的\(x\in(0，1]\)恆成立，
當\(x=1\)時，\(\lambda\cdot 0\ge 2ln1=0\)，\(\lambda\in R\)；
當\(x\in (0，1)\)時，分離參數得到\(\lambda \leq \cfrac{2lnx}{x-1}\)；令\(h(x)= \cfrac{2lnx}{x-1}\)，
\(h'(x)=\cfrac{\cfrac{2}{x}(x-1)-2lnx}{(x-1)^2}=\cfrac{2(1-\cfrac{1}{x}-lnx)}{(x-1)^2}\)；
令\(m(x)=1-\cfrac{1}{x}-lnx\)，則\(m'(x)=\cfrac{1}{x^2}-\cfrac{1}{x}=\cfrac{1-x}{x^2}\)，
則\(m'(x)>0\)，則\(m(x)\)在\((0，1)\)上單調遞增，故\(m(x)<m(1)=0\)，故\(h'(x)=\cfrac{2m(x)}{(x-1)^2}<0\)，
則\(h(x)\)在\((0，1)\)上單調遞減，故\(h(x)>h(1)=2\)(由洛必達法則求得)，即\(\lambda\leq 2\)
綜上所述求交集得到，\(\lambda \in(-\infty，2]\)。
法3：不完全分離參數法，由\(\lambda(x-1)\ge 2lnx\)對任意的\(x\in(0，1]\)恆成立，
做函數\(y=\lambda(x-1)\)和函數\(y=2lnx\)的圖像，示意圖
設直線\(y=\lambda(x-1)\)與曲線\(y=2lnx\)相切於點\((x_0，y_0)\)，則有\(\cfrac{2}{x_0}=\lambda\)，\(y_0=2lnx_0\)，\(y_0=\lambda(x_0-1)\)，
求得切點坐標\((1，0)\)，此時\(\lambda=2\)，由\(\lambda\)的幾何意義可知，\(\lambda\)的取值范圍是\((-\infty，2]\)。
注意事項
-
分離參數法，一般常用於恆成立問題、能成立問題(有解)，或無解問題，或已知函數零點個數命題中的參數取值范圍問題，又或是從數的角度不好解決需要從形的角度入手的問題。
-
分離參數時，盡可能的使函數形式簡單，這樣求導數判斷單調性就簡單些，而參數形式復雜些或者簡單些都無所謂，
(1)若函數\(f(x)\)在區間\((0，\cfrac{1}{2})\)上無零點，求實數\(a\)的最小值。
【法1】(分離參數，參數形式簡單，函數復雜)
碰到這類問題，我們的第一反應往往是分離參數，然后數形結合求解，但是這個方法不見得是很恰當和很靈活的。
先變形為\(a(1-x)=2+2lnx-2x\)，再分離參數為\(a=\cfrac{2+2lnx-2x}{1-x}\)，其中\(x\in (0，\cfrac{1}{2})\)，
令函數\(h(x)=\cfrac{2+2lnx-2x}{1-x}\)，接下來用導數研究單調性，准備做函數的大值圖像，
\(h'(x)=\cfrac{(\cfrac{2}{x}-2)(1-x)-(2+2lnx-2x)(-1)}{(1-x)^2}=\cfrac{2lnx+\cfrac{2}{x}-2}{(1-x)^2}\)
暫時沒法看透\(h'(x)\)的正負值，也無法判斷原函數\(h(x)\)的增減性，
故再設\(h'(x)\)的分子函數為\(m(x)=2lnx+\cfrac{2}{x}-2\)，
\(m'(x)=\cfrac{2}{x}-\cfrac{2}{x^2}=\cfrac{2x-2}{x^2}\)，
由於\(0< x <\cfrac{1}{2}\)，故\(m'(x) <0\)，即\(m(x)\)單調遞減，
故函數\(m(x)\)的最小值的極限為\(m(\cfrac{1}{2})=2ln\cfrac{1}{2}+4-2=2(1-ln2)>0\)
編外話：由分子函數\(m(x)\)的最小值的極限為正，說明函數\(h'(x)\)的分子都為正，
故\(h'(x)=\cfrac{m(x)}{(1-x)^2}>0\)，故函數\(h(x)\)在\(x\in (0，\cfrac{1}{2})\)上單調遞增，
故\(h(x)\)的最大值的極限為\(h(\cfrac{1}{2})=\cfrac{2+2ln\cfrac{1}{2}-2\times\cfrac{1}{2}}{1-\cfrac{1}{2}}=2(1-2ln2)\)
要使直線\(y=a\)與函數\(y=h(x)(0< x <\cfrac{1}{2})\)沒有交點，
則\(a\)的取值范圍是\(a\ge 2(1-2ln2)\)，故\(a_{min}=2-4ln2\)。
【法2】(分離參數，參數形式復雜，函數簡單)
將原方程\((2-a)x-2(1+lnx)+a=0\)，先變形為\((2-a)x+(a-2)-2lnx=0\)，再變形為\(\cfrac{2-a}{2}=\cfrac{lnx}{x-1}\)，
令\(h(x)=\cfrac{lnx}{x-1}\)，
則\(h'(x)=\cfrac{\cfrac{1}{x}(x-1)-lnx}{(x-1)^2}=\cfrac{1-\cfrac{1}{x}-lnx}{(x-1)^2}\)
令\(m(x)=1-\cfrac{1}{x}-lnx\)，
則\(m'(x)=\cfrac{1}{x^2}-\cfrac{1}{x}=\cfrac{1-x}{x^2}>0\)在\((0，\cfrac{1}{2})\)上恆成立，
故函數\(m(x)\)在\((0，\cfrac{1}{2})\)單調遞增，
故\(m(x)_{max}\)的極限為\(m(\cfrac{1}{2})=1-2-ln\cfrac{1}{2}=ln2-1<0\)
則函數\(h'(x)=\cfrac{m(x)}{(x-1)^2}<0\)在\((0，\cfrac{1}{2})\)上恆成立，
函數\(h(x)\)在\((0，\cfrac{1}{2})\)上單調遞減，
則\(h(x)_{min}\)的極限為\(h(\cfrac{1}{2})=\cfrac{ln\cfrac{1}{2}}{\cfrac{1}{2}-1}=2ln2\)
要使得原方程無解，必須滿足函數\(y=\cfrac{2-a}{2}\)與函數\(y=h(x)\)沒有交點，
即\(\cfrac{2-a}{2}\leq 2ln2\)，即\(a\ge 2-4ln2\)
故\(a_{min}=2-4ln2\)。
【法3】要是不用分離參數的方法，我們還可以這么分析呢？我們這樣想，分離參數法是從數的角度來求解的，那么我們可以換個思路，想想能不能從形上入手分析？這時候，最好將原方程\(f(x)=0\)變形得到兩個函數\(h(x)=m(x)\)，其中這兩個函數最好是基本初等函數，這樣它們的圖像我們不用費事就能做出來，同時讓參數配備個幾何意義那是最好的選擇，比如斜率等等，故求解如下：
由於函數\(f(x)=0\)在\(x\in (0，\cfrac{1}{2})\)上沒有零點，
則\((2-a)x-2(1+lnx)+a=0\)在\(x\in (0，\cfrac{1}{2})\)上沒有零點，
變形為\((2-a)(x-1)=2lnx(0< x <\cfrac{1}{2})\)
這樣左端為函數\(h(x)=(2-a)(x-1)\)，是過定點\((1，0)\)斜率是\(2-a\)的直線段，
右端為函數\(m(x)=2lnx\)，是過定點\((1，0)\)的對數型函數的一部分，圖像
當直線段過點\((1，0)\)和\((\cfrac{1}{2}，2ln\cfrac{1}{2})\)時，斜率為\(k=\cfrac{2-2ln\cfrac{1}{2}}{1-\cfrac{1}{2}}=4ln2\)，
由圖像可知，要讓這兩個定義在\(x\in (0，\cfrac{1}{2})\)上的函數沒有交點，
只需要函數\(h(x)\)的斜率\(2-a\)小於等於斜率\(k=4ln2\)即可，
故\(2-a\leq 4ln2\)，即則\(a\)的取值范圍是\(a\ge 2(1-2ln2)\)，
故\(a_{min}=2-4ln2\)。
解后反思：
1、法1是這類問題的通用解法，但是分離參數后得到的右端的函數，其單調性用導數判斷可能很辛苦，這個題目就說明了這一點，而且用到了二階導數，一般學生根本分不清一階導數和二階導數的關系，所以慎重使用。
2、法2比法1雖然都是分離參數法，但是我們感覺法2比法1要簡單，其主要原因是法2采用的策略是，讓函數簡單些，讓參數復雜些，這樣運算量就小很多了。
3、法3將方程分離成立兩個基本初等函數的形式，這樣就可以很快很容易的使用形來解決問題了，到此我們也能體會命題人的意圖，能將問題簡化為我們學習過的，簡單模型的學生，是不是其思維具有更好的可塑性。
通過以上七個方面的粗淺探索，相信各位會對分離參數法有更深入的理解，使用會更加得心應手。
對應練習
提示：選\(C\)。
法1：分別作出兩個函數的圖像，由圖像可知\(a\geqslant 1\)，故選\(C\).
法2：轉化法，轉化為函數\(h(x)=f(x)-g(x)=x^2-2lnx-a\)有零點，分析單調性，令\(h(x)_{min}\leqslant 0\)，故選\(C\).
法3：轉化法+分離參數法，轉化為\(a=x^2-2lnx\)有解，即函數\(y=a\)和函數\(y=x^2-2lnx\)圖像有交點，故選\(C\).
引申：可能還會同時考查整體思想，比如以下的題目；
函數\(f(x)=x^2\)，\(g(x)=2lnx+b^2-b\)有公共點，則\(b\)的取值范圍是____________.
函數\(f(x)=x^2\)，\(g(x)=2lnx+a+\cfrac{1}{a}\)有公共點，則\(a\)的取值范圍是____________.
角度：兩曲線在切點處的斜率相等；點在曲線一上；點在曲線二上； ↩︎