分離變量法用於求解偏微分方程和邊界條件都是 線性和 齊次的情形。
1. 線性
u的線性方程具有形式：
L(u)=f, 其中L是一個線性算子，f是已知的。
2. 齊次
在L(u)=f,中，如果f=0,則該方程稱為齊次線性方程。檢驗一個方程是否為齊次方程最簡單的辦法就是，將恆等於0的函數帶入，如果滿足，則為齊次方程。
3. 線性方程解疊加原理
以上討論同樣適用於邊界條件。一定要注意分離變量法的使用條件。
4. 在有限端處具有零溫度的熱傳導方程
首先研究一維無熱源問題，方程如下，這是一個方程和邊界條件都是齊次線性的問題，可以使用分離變量法求解。
求解步驟：
（1）乘積解形式
這里先不考慮初始條件。（2.3.4）必須滿足2.3.1和2.3.2。
（2）分離變量
將（2.3.4）帶入（2.3.1），並在兩段同時除以可以分離變量：
兩邊要相等，只能等於一個相同的常數。
其中，λ是一個任意常數，稱為分離常數。負號是為了方便才引入的，后面會解釋。
這樣，（2.3.7）衍生出兩個常微分方程，一個是關於時間的不定常方程，一個是關於空間的。
另外，從邊界條件，
當G(t)=0, u(x,t)=0,它顯然滿足齊次方程，但是沒多少意義，這稱為平凡解。我們要尋找非平凡解。因此，邊界條件變化為：
（3）不定常方程
先求解關於時間的不定常方程（2.3.9）。這是一個常系數的一階齊次線性常微分方程。幾乎所有的常系數（線性和齊次的）常微分
方程都可以通過尋找指數形式\(G=e^{rt}\)的解來求解。通過代換，特征多項式為\(r=-{\lambda}k\),因此，得到方程（2.3.9）的通解為：
\(G(t) = ce^{-\lambda kt}\)
從這個式子我們發現，由於熱傳導問題的解不會隨時間依指數增長，因此，\(\lambda>=0\)，這就顯示了在分離常數中引入負號的方便之處。
（4）邊值問題
乘積解中的\(\phi (x)\)滿足帶有兩個齊次邊界條件的二階常微分方程：
沒有簡單的理論保證這類問題的解存在或解是唯一的。另外注意到\(\phi (x) \equiv 0\)是上述方程的平凡解。幸運的是，當\(\lambda\)去某些特殊值時，該方程還有非平凡解。這些\(\lambda\)值稱為特征值，對應的非平凡解\(\phi (x)\)稱為特征函數。
這部分的詳細介紹可以參照筆記“高階線性微分方程”，這里簡述如下：
尋求兩個無關解，從指數形式\(\phi = e^{rx}\)，得到特征多項式為\(r^2 = -\lambda\)。解的性質與\(\lambda\)取值有關，有4種情況：
暫時忽略第四種情況（第5章會證明）
a. 當\(\lambda >0\)
通解為：
（有時也會選擇
）
應用邊界條件\(\phi (0) = 0\),得到\(c_1 = 0\)
應用\(\phi (L) = 0\)，因此\(0 = c_2 sin(\sqrt{\lambda}L)\). 為了尋找非平凡解，\(c_2 \ne 0\), \(sin(\sqrt{\lambda}L) = 0\)
因此，
這里c2是任意常數，通常為c2選擇一個方便的值，例如1.不過應該記住，任何特定的特征函數總可以用任意常數相乘，因為偏微分方程和邊界條件都是線性和齊次的。
b. 當\(\lambda = 0\)
通解為：\(\phi = c_1 + c_2 x\).
為確定\(\lambda = 0\)是否為一個特征值，需要應用齊次邊界條件：
\(\phi (0) = 0\),得到\(c_1 = 0\)
\(\phi (L) = 0\)，因此\(0 = c_2 L\).因此\(c_2 = 0\)
所以\(\phi = 0\)，這是平凡解。因此對於這個問題\(\lambda = 0\)不是特征值。
c. 當\(\lambda < 0\)
特征多項式的根為\(r=\pm \sqrt{-\lambda}\), 通解為
$\phi = c_1 e^\sqrt{(-\lambda)}x + c_2 e^{-\sqrt{(-\lambda)}x} $
經常用雙曲函數代替指數函數，雙曲函數的定義為：
其函數圖像為：
雙曲函數的求導公式為：與三角函數類似，但是沒有負號
\(\frac{dcosh(z)}{dx} = sinh(z)\), \(\frac{dsinh(z)}{dx} = cosh(z)\)
用雙曲函數代替指數函數，通解變為：
\(\phi = c_3 cosh\sqrt{(-\lambda)}x+c_4 sinh\sqrt{(-\lambda)}x\)
為了確定是否存在負特征值，再次使用邊界條件。
\(\phi (0) = 0\),得到\(c_3 = 0\)
\(\phi (L) = 0\)，因此\(0 = c_4 sinh\sqrt{(-\lambda)}L\)
從雙曲圖像看出，對一個正變量，sinh不等於0，因此\(c_4 = 0\)
所以，\(\lambda < 0\)不是一個特征值。
(5) 得到乘積解
以上過程求得了\(\phi(x)\)和\(G(t)\)，以及對應的特征值，下面可以寫出乘積解形式：
（6）疊加原理
如果u1,u2...un是一個齊次線性問題的解，那么這些解的線性組合仍然是該齊次線性方程的解。所以，對任意有限M：
也是熱傳導方程的解。
對於每個解，振幅\(B_n\)都是不同的。現在考慮初值條件，如果初始條件：
即初始條件為合適的正弦函數的有限和，熱傳導方程是可以求解的。通常當\(f(x)\)不滿足該條件時，傅里葉級數理論指出
\(f(x)\)可以用正弦函數的有限線性組合逼近，且\(M \to \infty\), 無窮級數收斂於\(f(x)\)[對\(f(x)\)有一些限制]
（7）使用初始條件及特征函數正交性確定系數
函數正交性
以向量的觀點看待函數，定義
如果\(\int_0^L A(x)B(x)dx = 0\), 則函數\(A(x)\)正交於函數\(B(x)\)。
若一個函數集中的每個元素都與其他元素正交，則稱之為正交函數集。
三角函數的正交性
利用
可以計算：
利用：
正弦平方或余弦平方在一個全周期內的均值為1/2, 因此在正弦或余弦平方的任意多個全周期內的積分等於該區間長度的一半。
利用奇偶函數特性，可知：（注意積分限的不同）
注意sin,cos的正交區間為[-L,L]. 他們在[0,L]上不是正交的。
確定系數
在初值函數兩邊乘以\(sin m\pi x/L\),並從0到L積分得：
利用正交性：
以上就是分離變量法的步驟，應該理解而不是死記硬背。另外需要記住：
- 對偏微分方程的解應用疊加原理，不是累加不同常微分方程的解
- 在使用疊加原理之后再應用初始條件。
5 邊值問題小結
在很多問題中，這個具體的簡單常系數微分方程
\(\frac{d^2\phi}{dx^2} = -\lambda\)
構成了邊值問題的基本部分，現總結如下表。需要注意，在這些情形中，只要\(\lambda = 0\)是特征值，常數就是特征函數（在
\(cosn\pi x/L\)中對應n=0）
6 矩形區域內的拉普拉斯方程
可以看到使用疊加原理將非齊次邊界條件轉換為齊次邊界條件。
為了解決非齊次邊界條件，對該非齊次應用疊加原理，令
\(u(x,y) = u_1(x,y) +u_2(x,y)+u_3(x,y)+u_4(x,y)\),其中每個\(u_i(x,y)\)滿足一個非齊次邊界條件和一個齊次邊界條件。如圖所示：
這樣只要分別求解\(u_i(x,y)\)即可。以\(u_4(x,y)\)為例，滿足下列方程
可以看到，關於y的兩個邊界為齊次邊界條件，因此先求解y的，分離變量的：
對比表2.4.1，引入分離變量\(\lambda\)(不是\(-\lambda\))，求解得到：
將\(\lambda\)代入h的方程，得到通解：
（為了求解齊次邊界條件h(L)=0,使用了如下無關解）
由齊次邊界條件得到\(a_1 = 0\)
應用疊加原理得到：
現在由非齊次條件求解系數：
利用正弦函數的正交性可以得到系數公式：
7 圓盤內的拉普拉斯方程
通過物理原因找到邊界條件：
通過連續性可得：周期性條件
上面的邊界條件中，只有\(u(a,\theta) = f(\theta)\)為非齊次邊界條件。 因此該問題適用分離變量法
乘積解形式：\(u(r,\theta) = \phi(\theta)G(r)\)
帶入PDE方程，為了能夠分離變量，兩邊同時除以\((1/r^2)\phi(\theta)G(r)\)得到：
\(\frac{r}{G} \frac{d}{dr}(r\frac{dG}{dr})=-\frac{1}{\phi}\frac{d^2\phi}{d\theta^2}=\lambda\)
這是引入分離變量\(\lambda\)(而不是\(-\lambda\))，因為\(\theta\)有兩個齊次條件，可以預計在\(\theta\)內震盪。
通過表2.4.1得到特征值，並且對於圓金屬絲(\(L=\pi\))：
\(\lambda = (\frac{n\pi}{L})^2=n^2\)
對應的特征函數有兩個，即\(sinn\theta\)和\(cosn\theta\)
這時需要注意n=0也要包含在內，對應一個常數特征函數。
以上求解了\(n=0, n \ne 0\)兩種情況下的通解。由於\(G(r)\)有界，\(c_2 = 0, \tilde{c_2} = 0\)
最終得到通解為：
\(G(r) = c_1 r^n, n \ge 0\)
因此通過分離變量法得到滿足三個齊次條件的乘積解是：
\(r^ncos(n\theta) (n \ge 0)\) 和 \(r^nsin(n\theta) (n \ge 1)\)
應用疊加原理：
從以上可以看到矩形及圓形區域內的拉普拉斯方程求解過程，都是先從齊次條件入手，利用分離變量法求解部分乘積。然后使用非齊次邊界條件確定系數，最終得到通解。