分段函數中的參數分離

前言

當我們理解和掌握了一般函數的分離參數的求解方法之后，還需要注意分段函數中的參數分離方法和技巧。

典例剖析

【2022屆高三一輪復習用題】已知函數 \(f(x)=\left\{\begin{array}{l}2 \cdot a^{x}-m, x>1, \\ 2 x+a-m, x \leqslant 1,\end{array}\right.\) 其中\(a>0\)且\(a\neq 1\)， 若 \(\exists\) \(m\) \(\in\)\(R\) ，使得函數\(f(x)\)有\(2\)個零點， 則實數 \(a\) 的取值范圍為【\(\qquad\)】

$A.(0,\cfrac{1}{2})\cup(1,2)$ $B.(0,1) \cup(1,2)$ $C.(0,1) \cup(2,+\infty)$ $D.(0, \cfrac{1}{2}) \cup(2,+\infty)$

〔分析〕：由題目可知，若令\(f(x)=0\)，則\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}2 \cdot a^{x}-m=0, x>1, \\ 2 x+a-m=0, x \leqslant 1,\end{array}\right.\)

即\(\left\{\begin{array}{l}2 \cdot a^{x}=m, x>1, \\ 2 x+a=m, x \leqslant 1,\end{array}\right.\) 故我們想到分離參數\(m\)后，利用數形結合求解；

〔解析〕: 令 \(f(x)=0\)， \(g(x)=\left\{\begin{array}{l}2 \cdot a^{x}, x>1, \\ 2 x+a, x \leqslant 1,\end{array}\right.\)

則 原函數有兩個零點問題就轉化為方程 \(g(x)=m\)有兩個不同解的問題，

從而轉化為形，則轉化為 \(y=g(x)\) 與 \(y=m\) 的圖象有兩個交點，

顯然當 \(0<a<1\) 時，存在實數\(m\)，使得\(y=g(x)\) 與 \(y=m\) 的圖象有兩個交點；

當 \(a>1\) 時， 只需 \(2+a>2a\)， 解得 \(1<a<2\) .

綜上所述，實數 \(a\) 的取值范圍為 \((0 , 1)\cup(1,2)\)， 故選\(B\) .