2018-03-13 17:08:57
最短路徑問題是圖論中一個經典的問題，Dijkstra算法更是大名鼎鼎。然而縱是如此著名的算法也有其不擅長的領域，也就是帶有負權邊的圖是無法使用Dijkstra算法來進行最短路計算的。理由也很簡單，每次dijkstra都是將目前的額最短路添加到集合中，這也就保證了，下一次的最短路徑是肯定要長於之前添加進去的最短路徑的，然而在有負權邊的時候，這個推論就會被打破，最后會導致整個Dijkstra算法崩潰。
那么，難道帶有負權邊的最短路徑問題就沒有解法了么？
答案顯然是否定的，這里就會介紹兩種求解帶有負權邊的圖的最短路徑求解的算法，一是Bellman Ford算法，二是SPFA算法。
一、Bellman Ford算法
貝爾曼-福特算法（英語：Bellman–Ford algorithm），求解單源最短路徑問題的一種算法，由理查德·貝爾曼（Richard Bellman） 和 萊斯特·福特 創立的。有時候這種算法也被稱為 Moore-Bellman-Ford 算法，因為Edward F. Moore 也為這個算法的發展做出了貢獻。它的原理是對圖進行V-1次松弛操作，得到所有可能的最短路徑。其優於迪科斯徹算法的方面是邊的權值可以為負數、實現簡單，缺點是時間復雜度過高，高達O(VE)。但算法可以進行若干種優化，提高了效率。
Bellman Ford算法每次對所有的邊進行松弛，每次松弛都會得到一條最短路徑，所以總共需要要做的松弛操作是V - 1次。在完成這么多次松弛后如果還是可以松弛的話，那么就意味着，其中包含負環。
procedure BellmanFord(list vertices, list edges, vertex source)
// 該實現讀入邊和節點的列表，並向兩個數組（distance和predecessor）中寫入最短路徑信息
// 步驟1：初始化圖
for each vertex v in vertices:
if v is source then distance[v] := 0
else distance[v] := infinity
predecessor[v] := null
// 步驟2：重復對每一條邊進行松弛操作
for i from 1 to size(vertices)-1:
for each edge (u, v) with weight w in edges:
if distance[u] + w < distance[v]:
distance[v] := distance[u] + w
predecessor[v] := u
// 步驟3：檢查負權環
for each edge (u, v) with weight w in edges:
if distance[u] + w < distance[v]:
error "圖包含了負權環"
二、SPFA算法
求單源最短路的SPFA算法的全稱是：Shortest Path Faster Algorithm。 SPFA算法是西南交通大學段凡丁於1994年發表的。松弛操作必定只會發生在最短路徑前導節點松弛成功過的節點上，用一個隊列記錄松弛過的節點，可以避免了冗余計算。復雜度可以降低到O(kE)，k是個比較小的系數(並且在絕大多數的圖中，k<=2，然而在一些精心構造的圖中可能會上升到很高)。
SPFA算法可以認為是對Bellman Ford算法的優化，但不論如何，這是在最短路徑問題中由中國學生提出的算法，算法的核心思路並不復雜，主要的操作就是維護一個candidate隊列，最開始的時候只有s，然后對s的鄰接邊進行松弛，如果可以松弛，則判斷一下當前結點是否在隊列中，如果不在的話，那么將該結點加入隊列，重復操作，知道隊列為空。
從理性的角度來分析這個算法的合理性：
只要最短路徑存在，上述SPFA算法必定能求出最小值。證明：每次將點放入隊尾，都是經過松弛操作達到的。換言之，每次的優化將會有某個點v的最短路徑估計值d[v]變小。所以算法的執行會使d越來越小。由於我們假定圖中不存在負權回路，所以每個結點都有最短路徑值。因此，算法不會無限執行下去，隨着d值的逐漸變小，直到到達最短路徑值時，算法結束，這時的最短路徑估計值就是對應結點的最短路徑值。
SPFA判環：
當一個結點入隊次數到達V的時候，表明其中有環。如同Bellman Ford算法，只需要V - 1次就可以完成所有的松弛，如果做了 V 次松弛，那么說明有環。
具體實現中可以用一個數組保存每個結點的入隊次數。
procedure Shortest-Path-Faster-Algorithm(G, s) 1 for each vertex v ≠ s in V(G) 2 d(v) := ∞ 3 d(s) := 0 4 offer s into Q 5 while Q is not empty 6 u := poll Q 7 for each edge (u, v) in E(G) 8 if d(u) + w(u, v) < d(v) then 9 d(v) := d(u) + w(u, v) 10 if v is not in Q then 11 offer v into Q
。但算法可以進行若干種優化，提高了效率。