圖-最短路徑問題

　　從某個源點到其余各頂點的最短路徑

迪傑斯特拉（Dijkstra）算法

迪傑斯特拉算法是一個按路徑長度遞增的次序產生最短路徑的算法。（負值圈該算法無效）

算法描述：

1. 假設用帶權的鄰接矩陣 arcs表示帶權有向圖，arcs[i][j]表示弧<vi,vj>上的權值；若<vi,vj>不存在，則arcs[i][j]為∞，S為已找到的從v0頂點出發的最短路徑的終點的集合，初始狀態為空.
2. 選擇 v0到 V-S中頂點構成的最短路徑<v0,vj>,並將vj加入S。
3. 由於vj加入到S中，最短路徑發生變化，修改v0到V-S可能的最短路徑
4. 重復第2、3步n-1次，得到從v0到圖上其余頂點的最短路徑是依次遞增的序列

該算法最終的得到的是一個遞增的最短路徑序列，每次循環中是先找到剩余路徑中的最短的一條，再更新一下剩余的最短路徑，好像一個選擇排序一樣，每次選擇后面的最小的一個放到前面，最終的到一個有序序列，該序列就是從源點到圖中各個頂點的最短路徑。

/*
    G.arcs  : 帶權鄰接矩陣
    vo : 源點
    P  : 存儲路徑的矩陣
    D  : 存儲 v0到 vi的最短路徑長度 
*/
void shortestPath_DLJ(MGraph G, int v0, PathMatrix &P, ShortPathTable &D) {
    /*
        求從 v0頂點到其余頂點 v的最短路徑P[v]及帶權長度D[v]
        P[v][w]為true表示 w是從 v0到 v當前求得最短路徑上的頂點
        
        final[v]為true表示已經求得從 v0到 v的最短路徑 ,
        即將頂點 v加入到 S集中 
    */ 
    //初始化 
    for(v = 0; v < G.vexnum; v++){
        final[v] = false;
        
        //若 v0到 v有弧，則賦給D[v]的為其權值，否則為INFINITY
        //G.arcs中兩頂點無弧，其值已為INFINITY 
        D[v] = G.arcs[v0][v];
        
        //置空路徑 
        for(w = 0; w < G.vexnum; w++) P[v][w] = flase;
        
        //若D[v]值小於INFINTY，說明 v0到 v有弧，v0, v自然在路徑上
        if(D[v] < INFINTY){ P[v][v0] = true; P[v][v] = true;} 
    }
    
    // 初始化，v0屬於 S集 
    D[v0] = 0; final[v0] = true;
    
    //開始主循環，每次求得 v0到 v頂點的最短路徑，將 v加入到 S集
    //其余 G.vexnum - 1個頂點 
    for(i = 1; i < G.vexnum; i++){
        //當前離 v0最短距離 
        min = INFINTY;
        
        for(w = 0; w < G.vexnum; w++) 
            //頂點在 V-S中 
            if(!final[v]){ v = w; min = D[w];}
        
        //找到了，將 v加入到 S集 
        final[v] = true;
        
        /*    更新最短路徑及距離
            因 v加入到 S集，產生了有 v頂點的新路徑
            重新判斷最短路徑，用於下次找最短路徑 
        */ 
        for(w = 0; w < G.vexnum; w++)
            if(!final[w] && min + G.arcs[v][w] < D[w]){
                D[w] = min + G.arcs[v][w];
                //將 v0到 v的路徑 P[v]賦給 P[w] 
                //w也在該路徑上
                P[w] = P[v];
                P[w][w] = true; 
            } 
    }    
}

待續。。。