斐波那契數列
概述:
斐波那契數列,又稱黃金分割數列,指的是這樣一個數列:0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在數學上,斐波納契數列以如下被以遞歸的方法定義:F(0)=0,F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥2,n∈N*)在現代物理、准晶體結構、化學等領域,斐波納契數列都有直接的應用,為此,美國數學會從1963起出版了以《斐波納契數列季刊》為名的一份數學雜志,用於專門刊載這方面的研究成果。
求解:
求解斐波那契數列的F(n)有兩種常用算法:遞歸算法和非遞歸算法。試分析兩種算法的時間復雜度。
1 遞歸算法
#!/usr/bin/env python # -*- coding:utf-8 -*- def fibonacci(n): if n == 0: return 0 elif n <= 2: return 1 else: return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2) fibonacci(100)
時間復雜度:求解F(n),必須先計算F(n-1)和F(n-2),計算F(n-1)和F(n-2),又必須先計算F(n-3)和F(n-4)。。。。。。以此類推,直至必須先計算F(1)和F(0),然后逆推得到F(n-1)和F(n-2)的結果,從而得到F(n)要計算很多重復的值,在時間上造成了很大的浪費,算法的時間復雜度隨着N的增大呈現指數增長,時間的復雜度為O(2^n),即2的n次方
2 非遞歸算法
#!/usr/bin/env python # -*- coding:utf-8 -*- def fibonacci(n): if n == 0: return 0 elif n <= 2: return 1 else: num1 = 1 num2 = 1 for i in range(2,n-1): num1,num2 = num2,num2 + num1 return num1 + num2 print(fibonacci(100))
算法復雜度:從n>2開始計算,用F(n-1)和F(n-2)兩個數相加求出結果,這樣就避免了大量的重復計算,它的效率比遞歸算法快得多,算法的時間復雜度與n成正比,即算法的時間復雜度為O(n)