Python開發【算法】：斐波那契數列兩種時間復雜度

斐波那契數列

概述：

　　斐波那契數列，又稱黃金分割數列，指的是這樣一個數列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在數學上，斐波納契數列以如下被以遞歸的方法定義：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）在現代物理、准晶體結構、化學等領域，斐波納契數列都有直接的應用，為此，美國數學會從1963起出版了以《斐波納契數列季刊》為名的一份數學雜志，用於專門刊載這方面的研究成果。

 

求解：

求解斐波那契數列的F(n)有兩種常用算法：遞歸算法和非遞歸算法。試分析兩種算法的時間復雜度。

1 遞歸算法

#!/usr/bin/env python
# -*- coding:utf-8 -*-

def fibonacci(n):
    if n == 0:
        return 0
    elif n <= 2:
        return 1
    else:
        return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)

fibonacci(100)

時間復雜度：求解F(n),必須先計算F(n-1)和F(n-2),計算F(n-1)和F(n-2)，又必須先計算F(n-3)和F(n-4)。。。。。。以此類推，直至必須先計算F(1)和F(0),然后逆推得到F(n-1)和F(n-2)的結果，從而得到F(n)要計算很多重復的值，在時間上造成了很大的浪費，算法的時間復雜度隨着N的增大呈現指數增長，時間的復雜度為O(2^n)，即2的n次方　

2 非遞歸算法

#!/usr/bin/env python
# -*- coding:utf-8 -*-

def fibonacci(n):
    if n == 0:
        return 0
    elif n <= 2:
        return 1
    else:
        num1 = 1
        num2 = 1
        for i in range(2,n-1):
            num1,num2 = num2,num2 + num1
        return num1 + num2
print(fibonacci(100))

算法復雜度:從n>2開始計算，用F(n-1)和F(n-2)兩個數相加求出結果，這樣就避免了大量的重復計算，它的效率比遞歸算法快得多，算法的時間復雜度與n成正比，即算法的時間復雜度為O(n)