本文介紹了斐波那契數列的三種C++實現並詳細地分析了時間復雜度。
斐波那契數列定義：F(1)=1, F(2)=1, F(n)=F(n-1) + F(n-2) (n>2)
如何計算斐波那契數 F(n) 及時間復雜度 T(n) 呢?
我參考了一些資料總結了以下3種方法：遞歸法、順序法和矩陣乘法，並給出了基於C++的簡單代碼實現和時間復雜度分析。
如有不當，歡迎指正。
方法1：遞歸法
實現：
#include <stdio.h> #include <iostream> using namespace std; long long Fibonacci1(int n) { if (n < 1) { return 0; } if (n == 1 || n == 2) { return 1; } return Fibonacci1(n - 1) + Fibonacci1(n - 2); } int main() { char cont = 'y'; int n = 0; long long f = 0; cout << "Enter an integer:" << endl; while (cin >> n) { f = Fibonacci1(n); cout << "Fibonacci1(" << n << ") = " << f << endl; cout << "Continue(y or n)?" << endl; cin >> cont; if (cont == 'y' || cont == 'Y') { cout << "Enter an integer:" << endl; } else break; } return 0; }
時間復雜度：
設計算F(n)時調用遞歸的次數為call(n)，T(n) = O(call(n))。
1. 數學歸納法（沒興趣的可以直接看下面的方法2）
當n = 1, 2時，F(n) = 1，call(n) = 1，T(n) = O(1)
當n > 2時，F(n) = F(n-1) + F(n-2)，call(n) = call(n-1) + call(n-2) + 1（執行加法運算）。
n = 3時，call(3) = call(2) + call(1) + 1 = 3
n = 4時，call(4) = call(3) + call(2) + 1 = 5
n = 5時，call(5) = call(4) +call(3) + 1 = 9
……
注意到：F(3) = 2，call(3) = 3
F(4) = 3，call(4) = 5
F(5) = 5，call(5) = 9
由此猜測call(n) = 2 * F(n) - 1，下面用數學歸納法證明：
當n = 3時，等式成立。
假設n = k(k ≥ 3) 等式成立，即有：
call(k) = 2 * F(k) - 1
當n = k + 1時，
F(k+1) = F(k) + F(k-1)
call(k+1) = call(k) + call(k-1) + 1 = 2 * F(k) - 1 + 2 * F(k-1) -1 + 1 = 2 * F(k+1) - 1
所以，當n = k + 1時，等式也成立。
綜上，call(n) = 2 * F(n) - 1 對 n ≥ 2都成立
所以，計算F(n)的時間復雜度T(n) = O(2 * F(n) - 1) = O(F(n)) ，
T(n)近似為O(2n)。
F(n)的計算可以參考“斐波那契數列”的百度百科：https://baike.baidu.com/item/%E6%96%90%E6%B3%A2%E9%82%A3%E5%A5%91%E6%95%B0%E5%88%97。
2. 二叉樹法
觀察以下二叉樹：
f(5)
/ \
f(4) f(3)
/ \ / \
f(3) f(2) f(2) f(1)
/ \
f(2) f(1)
call(n)可以轉化為求二叉樹所有節點的個數。n = 5時，二叉樹有4層，第一層有1個，第二層2個，第三層4個，第四層有2個。應用等比數列求和有call(n) = (1-2n-2)/(1-2) + 2 = 2n-2 + 1。T(n) = O(call(n)) = O(2n-2 + 1) = O(1/4 * 2n + 1) = O(2n)。
方法2：順序法（從左到右依次求）
實現：
#include <stdio.h> #include <iostream> using namespace std; long long Fibonacci2(int n) { long long temp1 = 1; long long temp2 = 1; long long result = 0; if (n < 1) { return 0; } if (n == 1 || n == 2) { return 1; } for (int i = 3; i <= n; i++) { result = temp1 + temp2; temp1 = temp2; temp2 = result; } return result; } int main() { char cont = 'y'; int n = 0; long long f = 0; cout << "Enter an integer:" << endl; while (cin >> n) { f = Fibonacci2(n); cout << "Fibonacci2(" << n << ") = " << f << endl; cout << "Continue(y or n)?" << endl; cin >> cont; if (cont == 'y' || cont == 'Y') { cout << "Enter an integer:" << endl; } else break; } return 0; }
時間復雜度：
通過順序計算求得第n項，時間復雜度T(n) = O(n)。
方法3：矩陣乘法
實現：
F(n) = F(n-1) + F(n-2)是一個二階遞推數列，可以用矩陣乘法的形式表示為：
[F(n), F(n-1)] = [F(n-1), F(n-2)] * [a, b; c, d]
帶入n = 3, 4 可求出a = b = c = 1, d = 0。
遞推可進一步得到[F(n), F(n-1)] = [F(2), F(1)] * [a, b; c, d]n-2 = [1, 1] * [1, 1; 1, 0]n-2，F(n)便迎刃而解。
簡單介紹一下矩陣冪運算的實現過程。
矩陣冪運算：
以矩陣A的106次方為例，(106)10 = (1101010)2 = 21 + 23 + 25 + 26 = 2 + 8 + 32 + 64，所以，
A106 = A2 * A8 * A32 * A64，
計算過程：
- result = E (單位矩陣)，A平方得A2 0
- result *= A2，A2平方得A4 1
- A4平方得A8 0
- result *= A8，A8平方得A16 1
- A16平方得A32 0
- result *= A32，A32平方得A64 1
- result *= A64，A64平方得A128 1
即106的二進制形式有多少位，就要調用平方運算幾次，這個次數p其實滿足：2p-1 ≤ n < 2p，即p ≈ log2(n)，這樣就將方法2中復雜度為O(n)的計算降到了O(log2(n))。
#include <stdio.h> #include <iostream> using namespace std; enum Status { kValid = 0, kInvalid }; int g_nStatus = kValid; class Matrix { public: Matrix(int rows, int cols); // 構建一個全零矩陣 int GetRows() const; // 返回矩陣行數 int GetCols() const; // 返回矩陣列數 long long **p; // 指針數組 private: int rows_; // 矩陣行數 int cols_; // 矩陣列數 }; Matrix::Matrix(int rows, int cols) : rows_(rows), cols_(cols) { if (rows < 0 || cols_ < 0) { cout << "Matrix error!\n"; g_nStatus = kInvalid; return; } // 分配空間 p = new long long *[rows_]; for (int i = 0; i < rows_; i++) { p[i] = new long long[cols_]; } // 初始化 for (int i = 0; i < rows_; i++) { for (int j = 0; j < cols; j++) { p[i][j] = 0; } } } int Matrix::GetRows() const { return rows_; } int Matrix::GetCols() const { return cols_; } // 矩陣乘法運算 Matrix MatrixMultiply(Matrix& m1, Matrix& m2) { Matrix result(m1.GetRows(), m2.GetCols()); if (m1.GetCols() == m2.GetRows()) { for (int i = 0; i < result.GetRows(); i++) { for (int j = 0; j < result.GetCols(); j++) { for (int k = 0; k < m1.GetCols(); k++) { result.p[i][j] += m1.p[i][k] * m2.p[k][j]; } } } g_nStatus = kValid; } return result; } // 矩陣冪運算 Matrix MatrixPowder(Matrix& m, int p) { g_nStatus = kInvalid; Matrix result(m.GetRows(), m.GetCols()); if (m.GetRows() == m.GetCols()) { for (int i = 0; i < result.GetRows(); i++) { result.p[i][i] = 1; } for (; p != 0; p >>= 1) { if ((p & 1) != 0) { result = MatrixMultiply(result, m); } m = MatrixMultiply(m, m); } } return result; } long long Fibonacci3(int n) { if (n < 1) { return 0; } if (n == 1 || n == 2) { return 1; } Matrix m1(2, 2); m1.p[0][0] = 1; m1.p[0][1] = 1; m1.p[1][0] = 1; m1.p[1][1] = 0; Matrix result = MatrixPowder(m1, n - 2); if (g_nStatus == kInvalid) { cout << "Matrix error!\n"; return 0; } return (result.p[0][0] + result.p[1][0]); } int main() { char cont = 'y'; int n = 0; long long f = 0; cout << "Enter an integer:" << endl; while (cin >> n) { f = Fibonacci3(n); cout << "Fibonacci(" << n << ") = " << f << endl; cout << "Continue(y or n)?" << endl; cin >> cont; if (cont == 'y' || cont == 'Y') { cout << "Enter an integer:" << endl; } else break; } return 0; }
時間復雜度：
時間復雜度等於求矩陣n次方的復雜度，即O(log2n)。
總結：
三種方法的運行時間比較
可以明顯感受到方法1的呈指數增長的時間復雜度。
方法1太耗時，下面再比較方法2和方法3：
方法3秒殺方法2！
感悟
寫完這篇隨筆，深深體會到了算法的神奇。完成基本需求也許不難，又快又好的完成就需要有算法的功底啦。