這是2018王道數據結構考研復習指導的第一章思維拓展的題目。
關於斐波那契數列的簡介：
斐波那契數列，又稱黃金分割數列，指的是這樣一個數列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在數學上，斐波納契數列以如下被以遞歸的方法定義：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）在現代物理、准晶體結構、化學等領域，斐波納契數列都有直接的應用，為此，美國數學會從1963起出版了以《斐波納契數列季刊》為名的一份數學雜志，用於專門刊載這方面的研究成果。
具體題目：
求解斐波那契數列的F(n)有兩種常用算法：遞歸算法和非遞歸算法。試分析兩種算法的時間復雜度。
1.遞歸算法
1 #include<iostream> 2 using namespace std; 3 4 long Fibonacci(int n) { 5 if (n == 0) 6 return 0; 7 else if (n == 1) 8 return 1; 9 else 10 return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n-2); 11 } 12 13 int main() { 14 cout << "Enter an integer number:" << endl; 15 int N; 16 cin >> N; 17 cout << Fibonacci(N) << endl; 18 system("pause"); 19 return 0; 20 }
時間復雜度分析：
求解F(n),必須先計算F(n-1)和F(n-2),計算F(n-1)和F(n-2)，又必須先計算F(n-3)和F(n-4)。。。。。。以此類推，直至必須先計算F(1)和F(0),然后逆推得到F(n-1)和F(n-2)的結果，從而得到F(n)要計算很多重復的值，在時間上造成了很大的浪費，算法的時間復雜度隨着N的增大呈現指數增長，時間的復雜度為O(2^n)，即2的n次方
2.非遞歸算法
1 #include<iostream> 2 using namespace std; 3 4 long Fibonacci(int n) { 5 if (n <= 2) 6 return 1; 7 else { 8 long num1 = 1; 9 long num2 = 1; 10 for (int i = 2;i < n - 1;i++) { 11 num2 = num1 + num2; 12 num1 = num2 - num1; 13 } 14 return num1 + num2; 15 } 16 } 17 18 int main() { 19 cout << "Enter an integer number:" << endl; 20 int N; 21 cin >> N; 22 cout << Fibonacci(N) << endl; 23 system("pause"); 24 return 0; 25 }
時間復雜度分析：
從n(>2)開始計算，用F(n-1)和F(n-2)兩個數相加求出結果，這樣就避免了大量的重復計算，它的效率比遞歸算法快得多，算法的時間復雜度與n成正比，即算法的時間復雜度為O(n).
參考博客：http://www.cnblogs.com/python27/archive/2011/11/25/2261980.html