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本篇博文本來是想在下一篇博文中順帶提一句的，結果越寫越多，那么索性就單獨寫一篇吧。在此要特別感謝實驗室董師兄，正因為他的耐心講解，才讓我理解了卷積運算的統一性（果然學數學的都不是蓋的）。
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所謂卷積，其實是一種數學運算。但是在我們的學習生涯中，往往它都是披上了一層外衣，使得我們經常知其然不知其所以然。比如在信號系統中，他是以一維卷積的形式出現描述系統脈沖響應。又比如在圖像處理中，他是以二維卷積的形式出現，可以對圖像進行模糊處理。乍一看，兩個形式風馬牛不相及，但其實他們的本質都是統一的。可見，我們看待事物不僅要看他們的表象，還要從表象中分辨出他們的本質。下面進入正題。
1.一維卷積
在這個部分，我們主要從數學的角度看一看卷積，也就是看一下卷積是怎么運算的。這里要說明一下，卷積分為連續卷積和離散卷積。在此為了方便大家理解，在此先以離散卷積舉例，本文也就不再專門討論連續卷積（因為連續卷積和離散卷積的區別也就是連續和離散的區別，找時間我會總結一下連續和離散的異同）。說到數學角度，那首先就要給出卷積運算的公式定義：
一維卷積公式
這個公式中有三個序列（y,h,u），其中h長度為lh=3，u的長度為lu=6。那么就有y的長度ly=lh+lu-1=8（至於為什么后面會說）。如何計算這個卷積呢？我們先將一個序列從小到大排列(U0,U1,U2,U3,U4,U5)在一維直線上，因為公式中U的序號i是從小到大。而將H序列從大到小排列(H2,H1,H0)，因為H的序號是-i。再將兩個序列的開頭對齊，如下圖：
排列好之后，我們就可以開始進行卷積運算。當位移K=0時，下面H序列不移動，上下兩個序列中都存在的項相乘后相加，即y(0)=H0*U0。當位移K=1時，下面H序列移動1位，之后對應項相乘后相加得到y(1)=H1*U0+H0*U1。依此移動，直到取到K的最大值停止。可見，一維卷積就是卷積核H，在被卷積信號U的一維直線上的移動之后的對應項相乘后求和運算。那么K的取值范圍時多少呢?從圖中我們可以看出當K=8時，H序列和U序列對應項都不存在了，那么K=8也就沒有意義。因此的最大長度要使得兩個序列至少有1個項重合，即兩個序列長度求和再減去重合的一項的長度。
2.多維卷積
我們還是先從簡單的入手，以二維卷積為例。二維卷積的公式如下：
此時，三個序列(y,h,u)都是雙下標的序列。在一維卷積中，我們將U展開在一維直線上。那么對於二維卷積運算，我們就將U展開在二維平面中，左下角為U(0,0)，右上角為U(5,5)。同樣的，將H也展開在二維平面中，同時要與U的方向相反，左下角為H(2,2)，右上角為H(0,0)。如下圖所示：
同樣，二維卷積中p,q的長度也是由H和U序列長度所決定的，即Lp=Lux+Lhx-1，Lq=Luy+Lhy-1。二維卷積運算就是卷積核H，在被卷積信號U的平面上的對應項相乘后求和運算。那么對於更高維的卷積運算，同樣可以按照該方法理解。相信大家讀到這里，可以理解不同維卷積的統一性。
特別注意：
1.卷積后的序號k,q,p其實表示的是兩個卷積序列的相對位置關系，也就是與被卷積信號的坐標不相同。
2.卷積的兩個信號的坐標既可以是時間坐標也可以是空間的坐標，甚至是時空坐標。只不過，如果是時間坐標，注意坐標不可為負。