python 圖像的離散傅立葉變換

　　圖像(MxN)的二維離散傅立葉變換可以將圖像由空間域變換到頻域中去，空間域中用x,y來表示空間坐標，頻域由u,v來表示頻率，二維離散傅立葉變換的公式如下：

 

　　在python中，numpy庫的fft模塊有實現好了的二維離散傅立葉變換函數，函數是fft2，輸入一張灰度圖，輸出經過二維離散傅立葉變換后的結果，但是具體實現並不是直接用上述公式，而是用快速傅立葉變換。結果需要通過使用abs求絕對值才可以進行可視化，但是視覺效果並不理想，因為傅立葉頻譜范圍很大，所以要用log對數變換來改善視覺效果。

　　在使用log函數的時候，要寫成log(1 + x) 而不是直接用log(x),這是為了避開對0做對數處理。

　　另外，圖像變換的原點需要移動到頻域矩形的中心，所以要對fft2的結果使用fftshift函數。最后也可以使用log來改善可視化效果。

　　代碼如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

img = plt.imread('photo.jpg')

#根據公式轉成灰度圖
img = 0.2126 * img[:,:,0] + 0.7152 * img[:,:,1] + 0.0722 * img[:,:,2]

#顯示原圖
plt.subplot(231),plt.imshow(img,'gray'),plt.title('original')

#進行傅立葉變換，並顯示結果
fft2 = np.fft.fft2(img)
plt.subplot(232),plt.imshow(np.abs(fft2),'gray'),plt.title('fft2')

#將圖像變換的原點移動到頻域矩形的中心，並顯示效果
shift2center = np.fft.fftshift(fft2)
plt.subplot(233),plt.imshow(np.abs(shift2center),'gray'),plt.title('shift2center')

#對傅立葉變換的結果進行對數變換，並顯示效果
log_fft2 = np.log(1 + np.abs(fft2))
plt.subplot(235),plt.imshow(log_fft2,'gray'),plt.title('log_fft2')

#對中心化后的結果進行對數變換，並顯示結果
log_shift2center = np.log(1 + np.abs(shift2center))
plt.subplot(236),plt.imshow(log_shift2center,'gray'),plt.title('log_shift2center')

　　運行結果：

　　 根據公式實現的二維離散傅立葉變換如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
PI = 3.141591265
img = plt.imread('temp.jpg')

#根據公式轉成灰度圖
img = 0.2126 * img[:,:,0] + 0.7152 * img[:,:,1] + 0.0722 * img[:,:,2]

#顯示原圖
plt.subplot(131),plt.imshow(img,'gray'),plt.title('original')

#進行傅立葉變換，並顯示結果
fft2 = np.fft.fft2(img)
log_fft2 = np.log(1 + np.abs(fft2))
plt.subplot(132),plt.imshow(log_fft2,'gray'),plt.title('log_fft2')

h , w = img.shape
#生成一個同樣大小的復數矩陣
F = np.zeros([h,w],'complex128')
for u in range(h):
    for v in range(w):
        res = 0
        for x in range(h):
            for y in range(w):
                res += img[x,y] * np.exp(-1.j * 2 * PI * (u * x / h + v * y / w))
        F[u,v] = res
log_F = np.log(1 + np.abs(F))
plt.subplot(133),plt.imshow(log_F,'gray'),plt.title('log_F')

　　直接根據公式實現復雜度很高，因為是四重循環，時間復雜度為O(M²N²)，所以實際用的時候需要用快速傅立葉變換來實現

 參考

1、https://www.cnblogs.com/xianglan/archive/2010/12/30/1922386.html