組合數的幾種計算方法

組合數一種是OI中比較常用的知識

除了實際的分析之外，我們要考慮的，就是如何快速計算組合數

下面介紹幾種常用的計算組合數的方法

朴素公式法

顧名思義，直接套公式

int C(int n,int m){
	int ans=1;
	for(int i=1;i<=m;i++) ans=ans*(n-m+i)/i;
	return ans;
}

如果要對質數P取模，就是這樣：

int C(int n,int m){
	int ans=1;
	for(int i=1;i<=m;i++) ans=(LL)ans*(n-m+i)*inverse(i)%P;
	return ans;
}

其中inverse是i對P的逆元，如果P是質數inverse(i)=i^(P-2)   【費馬小定理得】，否則用exgcd求出【歐拉定理也行】

遞推式法

C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)

邊界：C(i,0)=C(i,i)=1

這個遞推式用到了動態規划的思想，對於第m個物品，有取和不取兩種情況

可以在O(n^2)的時間內算出所有的C(n,m)

void cal(){
	C[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		C[i][0]=C[i][i]=1;
		for(int j=1;j<=(i>>1);j++){
			C[i][j]=C[i][i-j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%P;
		}
	}
}

Lucas定理

對於n和m比較大(<=10^18)的組合數，就要用到LUCAS定理啦

Lucas定理解決的是n,m比較大而p是小於100000質數

簡而言之就是Lucas(n,m)=C(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p)%p;

其中組合數C是用任意一種計算10五次方內取模的組合數計算

比如可以預處理階乘fac[i],然后直接C(n,m)=fac[n]*quickpow(fac[n-m]*fac[m],p-2)%p;

或者O(n)套公式直接算也可以

要注意n可能小於m，因為是取模后的結果，這個時候返回0【不然會RE】

 

LL Lucas(LL n,LL m){  
    if(n<m||!m) return 1;  
    return C(n%P,m%P)*Lucas(n/P,m/P)%P;  
} 

 

配合Lucas定理，由於n和m都在10^5范圍內，使用預處理階乘的方法再好不過了：

預處理階乘法

其實就是直接套公式，只不過使用了 預處理階乘+逆元，查詢復雜度O(log100000),非常低

void cal(){  
    fac[0]=1;  
    for(int i=1;i<=P;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%P;  
}  
  
inline LL qpow(LL a,LL b){  
    LL ans=1;  
    for(;b;b>>=1,a=a*a%P) if(b&1) ans=ans*a%P;
    return ans;  
}  
  
inline LL C(LL n,LL m){  
    if(n<m) return 0;  
    return fac[n]*qpow(fac[n-m]*fac[m]%P,P-2)%P;  
}