凱魯嘎吉 - 博客園
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造紙廠接到定單，所需卷紙的寬度和長度如表
| 卷紙的寬度 |
長度 |
| 5 7 9 |
10000 30000 20000 |
工廠生產1號(寬度10)和2號(寬度20)兩種標准卷紙，其長度未加規定。現按定單要求對標准卷紙進行切割，切割后有限長度的卷紙可連接起來達到所需卷紙的長度。問如何安排切割計划以滿足定單需求而使切割損失最小?
解：為了滿足定單要求和使切割損失最小，我們可以使用多種切割方法來進行組合。此時，我們不但要考慮對兩種標准卷紙的寬度如何進行切割，而且還要確定按某一種方式切割時標准卷紙所耗用的長度。
例如，可以把寬10的1號標准卷紙切割成寬5的卷紙2卷，根據定單要求，此時需1號標准卷紙5000單位長度，與此同時，把寬度20的2號標准卷紙切割成寬度7和寬度9的卷紙各1卷，此時為滿足定單要求，需2號標准卷紙30000單位長度。按此切割方案，寬度9的卷紙多生產10000單位長度，因此，切割損失的面積為(20-7-9) ×30000+9×10000。
設xij為第i號標准卷紙按第j種方式切割時所耗用的長度。
各種可能的切割方式及切割損失寬度由下表給出(每種方式所產生的切割損失寬度應小於5)。
按這9種切割方式，寬度9的卷紙所得長度為
x13+x23+x25+2x26。
令 xl=x13+x23+x25+2x26-20000，則寬度9、長度x1的卷紙再可切割成寬度5(切割損失寬度4)或寬度7(切割損失寬度2)的卷紙設它們的長度分別為x2及x3
現在切割所得寬度7的卷紙其長度為
x12+x22+2x24+x25+x3
令 x4=x12+x22+2x24+x25+x3-30000，則寬度7、長度x4的卷紙又可切割成寬度5的卷紙(切割損失寬度2)。
在上述切割方式組合的條件下，寬度5的卷紙其所得長度為
2xll+4x21+2x22+2x23+x24+x2+x4
令 x5=2x11+4x21+2x22+2x23+x24+x2+x4-10000
我們應注意到，4x2，2x3，2x4，5x5都為卷紙的切割損失面積。從而，總的切割損失面積
f=3x12+x13+3x22+x23+x24+4x25+2x26+4x2+2x3+2x4+5x5
於是，我們得本問題的線性規划模型：
minf=3x12+x13+3x22+x23+x24+4x25+2x26+4x2+2x3+2x4+5x5
s．t． 2x11+4x21+2x22+2x23+x24+x2+x4- x5=10000
x12+x22+2x24+x25+x3- x4=30000
x13+x23+x25+2x26- x1=20000
x2+x3=x1，
xlj≥0， j=1，2，3
x2j≥0， j=1，…，6
xj≥0， j=1，…，5
Lingo程序：
min=3*x12+x13+3*x22+x23+x24+4*x25+2*x26+2*x3+5*x5+4*x2+2*x4; 2*x11+4*x21+2*x22+2*x23+x24+x2+x4-x5=10000;
x12+x22+2*x24+x25+x3-x4=30000;
x13+x23+x25+2*x26-x1=20000;
x2+x3=x1; end
結果為：
Global optimal solution found. Objective value: 60000.00 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 1 Variable Value Reduced Cost X12 0.000000 0.000000 X13 0.000000 0.000000 X22 0.000000 10.00000 X23 0.000000 10.00000 X24 10000.00 0.000000 X25 0.000000 0.000000 X26 15000.00 0.000000 X3 10000.00 0.000000 X5 0.000000 0.000000 X2 0.000000 10.00000 X4 0.000000 10.00000 X11 0.000000 10.00000 X21 0.000000 20.00000 X1 10000.00 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 60000.00 -1.000000 2 0.000000 5.000000 3 0.000000 -3.000000 4 0.000000 -1.000000 5 0.000000 1.000000