Dijkstra算法是解單源最短路徑問題的貪心算法。其基本思想是，設置頂點集合點集合S並不斷地做貪心選擇來擴充這個集合。一個頂點屬於集合S當且僅當從源到該頂點的最短路徑長度已知。初始時，S中僅含有源。設u是G的其一頂點。把從源到u且中間只經過S中頂點的路稱為從源到u的特殊路徑，並用數組Distance記錄當前每個頂點所對應的最短特殊路徑長度。Dijkstra算法每次從V-S中取出具有最短特殊路長度的頂占，Distance就記錄了從源到所有其它頂點之間最短路徑長度。
例如下圖中的有向圖，應用Dijkstra算法計算從源頂點1到其它頂點最短路徑的過程列表在下表中。
算法過程描述：
表格中默認選取的起始頂點為1頂點，所以本問題就轉化為求解1頂點到2, 3, 4, 5這幾個頂點的最短路徑。首先初始條件列出1頂點到2, 3, 4, 5各個頂點的距離，這個距離直接在圖的存儲鄰接矩陣中得到，選取距離最近的一個也就是2頂點加入集合S，下面要進行的是比較關鍵的一步，這個時候應該去獲取3, 4, 5三個頂點到集合S的最短距離(從1頂點出發，可以經過S中的任意頂點)：將1到2頂點的距離加上2到各個點的距離，然后用這個距離來同1到各個頂點的距離相比較，誰小就取誰，以此類推，然后每次取Distance[]最小的值進入集合S。
這樣下去，Distance[]中存放的就是每個頂點到集合S的最短距離，比如當前的集合只有1, 2，按照規則頂點4應該入選進集合S，因為Distance[3]沒有入選集合的頂點中對應的Distance[]最小的頂點。現在需要計算3和5到新集合S={1, 2, 4}的最短距離，這個時候就只需要將Distance[2]和Distance[4]中的值（現在這里面的值表示集合S={1, 2}到頂點3和5頂點的最短距離），但是現在集合中加入了頂點4，怎么計算？計算方法如下：
Distance[3] + 鄰接矩陣中頂點4到頂點3的距離 < Distance[2] ?
Distance[3]：(頂點4到S={1, 2}的最短距離)
Distance[2]: (頂點3到S={1, 2}的最短距離)
如果這個小於成立，那么很明顯新的集合到頂點3的最小距離應該是先從S={1, 2}到頂點4的最短距離，然后再從頂點4到頂點3。
由於每一次的比較都是在上一次集合的最優結果中計算的，所以新計算出來的頂點3到集合S={1, 2, 4}的最短距離也是全局最優的。
對應的C語言代碼如下：
#include <stdio.h> #define M 65535 //無窮大 #define N 5 //頂點數 //Dijkstra算法函數，求給定頂點到其余各點的最短路徑 //參數：鄰接矩陣、出發點的下標、結果數組、路徑前一點記錄 void Dijkstra(int Cost[][N], int v0, int Distance[], int prev[]) { int s[N]; int mindis,dis; int i, j, u; //初始化 for(i=0; i<N; i++) { Distance[i] = Cost[v0][i]; s[i] = 0; if(Distance[i] == M) prev[i] = -1; else prev[i] = v0; } Distance[v0] = 0; s[v0] = 1; //標記v0 //在當前還未找到最短路徑的頂點中， //尋找具有最短距離的頂點 for(i=1; i < N; i++) {//每循環一次，求得一個最短路徑 mindis = M; u = v0; for (j=0; j < N; j++) //求離出發點最近的頂點 if(s[j]==0 && Distance[j]<mindis) { mindis = Distance [j]; u = j; } // if語句體結束，j循環結束 s[u] = 1; for(j=0; j<N; j++) //修改遞增路徑序列（集合） if(s[j]==0 && Cost[u][j]<M) { //對還未求得最短路徑的頂點 //求出由最近的頂點 直達各頂點的距離 dis = Distance[u] +Cost[u][j]; // 如果新的路徑更短，就替換掉原路徑 if(Distance[j] > dis) { Distance[j] = dis; prev[j] = u; } } // if 語句體結束，j循環結束 } // i循環結束 } // 輸出最短路徑 // 參數：路徑前一點記錄、出發點的下標、到達點下標 void PrintPrev(int prev[],int v0,int vn) { int tmp = vn; int i, j; //臨時存路徑 int tmpprv[N]; //初始化數組 for(i=0; i < N; i++) tmpprv[i] = 0; //記錄到達點下標 tmpprv[0] = vn+1; //中間點用循環記錄 for(i =0, j=1; j < N ;j++) { if(prev[tmp]!=-1 && tmp!=0) { tmpprv[i] = prev[tmp]+1; tmp = prev[tmp]; i++; } else break; } //輸出路徑，數組逆向輸出 for(i=N-1; i >= 0; i--) { if(tmpprv[i] != 0) { //排除0元素 printf("V%d", tmpprv[i]); if(i) //不是最后一個輸出符號 printf("-->"); } } printf("-->V%d", vn+1); } //主函數 int main() { //給出有向網的頂點數組 char *Vertex[N]={"V1", "V2", "V3", "V4", "V5"}; //給出有向網的鄰接矩陣 int Cost[N][N]={ {0, 10, M, 30, 100}, {M, 0, 50, M, M}, {M, M, 0, M, 10}, {M, M, 20, 0, 60}, {M, M, M, M, 0}, }; int Distance[N]; //存放求得的最短路徑長度 int prev[N]; //存放求得的最短路徑 int i; //調用Dijkstra算法函數，求頂點V1到其余各點的最短路徑 //參數：鄰接矩陣、頂點數、出發點的下標、 結果數組 Dijkstra(Cost, 0, Distance, prev); for(i=0; i < N; i++) { //輸出最短路徑長度 printf("%s-->%s:%d\t", Vertex[0], Vertex[i], Distance[i]); //輸出最短路徑 PrintPrev(prev, 0, i); printf("\n"); } return 0; }
程序運行結果截圖：
