一，貪心算法的設計思想
• 從問題的某一個初始解出發逐步逼近給定的目標，每一步都作一個不可回溯的決策,盡可能地求得最好的解。當達到某算法中的某一步不需要再繼續前進時，算法停止。
二，貪心算法的基本性質
1）貪心選擇性質
所謂貪心選擇性質是指所求問題的整體最優解可以通過一系列局部最優的選擇，即貪心選擇來達到。這是貪心算法可行的第一個基本要素，也是貪心法與動態規划法的主要區別。
2） 最優子結構性質
該問題解的整體最優性依賴於其局部子問題解的最優性。這種性質是可以采用貪心算法解決問題的關鍵特征。例如，活動安排問題，在選擇了一項活動后，它必須是最優的，否則不能得到全局的最優。
三，貪心算法的適用性
• 貪心算法對問題只需考慮當前局部信息就要做出決策，也就是說使用貪心算法的前提是“局部最優策略能導致產生全局最優解”。
•該算法的適用范圍較小, 若應用不當, 不能保證求得問題的最佳解。更准確的方法是通過數學方法證明問題對貪心策略的選用性。
例一、單源最短路徑問題（有向圖）
單源最短路徑問題，即在圖中求出給定頂點到其它任一頂點的最短路徑。在弄清楚如何求算單源最短路徑問題之前，必須弄清楚最短路徑的最優子結構性質。
一.最短路徑的最優子結構性質
該性質描述為：如果P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是從頂點i到j的最短路徑，k和s是這條路徑上的一個中間頂點，那么P(k,s)必定是從k到s的最短路徑。下面證明該性質的正確性。
假設P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是從頂點i到j的最短路徑，則有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是從k到s的最短距離，那么必定存在另一條從k到s的最短路徑P'(k,s)，那么P'(i,j)=P(i,k)+P'(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。則與P(i,j)是從i到j的最短路徑相矛盾。因此該性質得證。
二.Dijkstra算法
由上述性質可知，如果存在一條從i到j的最短路徑(Vi.....Vk,Vj)，Vk是Vj前面的一頂點。那么(Vi...Vk)也必定是從i到k的最短路徑。為了求出最短路徑，Dijkstra就提出了以最短路徑長度遞增，逐次生成最短路徑的算法。譬如對於源頂點V0，首先選擇其直接相鄰的頂點中長度最短的頂點Vi，那么當前已知可得從V0到達Vj頂點的最短距離dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]}。根據這種思路，
假設存在G=<V,E>，源頂點為V0，U={V0},dist[i]記錄V0到i的最短距離，path[i]記錄從V0到i路徑上的i前面的一個頂點。
1.從V-U中選擇使dist[i]值最小的頂點i，將i加入到U中；
2.更新與i直接相鄰頂點的dist值。(dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]})
3.知道U=V，停止。
算法流程：
(a) 初始化：用起點v到該頂點w的直接邊(弧)初始化最短路徑，否則設為∞；
(b) 從未求得最短路徑的終點中選擇路徑長度最小的終點u：即求得v到u的最短路徑；
(c) 修改最短路徑：計算起點v到u的鄰接點的最短路徑，若(v,…,u)+(u,w)<(v,…,w)，則以(v,…,u,w)代替。
(d) 重復(b)-(c)，直到求得v到其余所有頂點的最短路徑。
特點：總是按照從小到大的順序求得最短路徑。
/*Dijkstra求單源最短路徑 */ #include <iostream> #include<stack> #include<vector> #include"stdlib.h" #define M 100 #define N 100 using namespace std; typedef struct node { int matrix[N][M]; //鄰接矩陣 int n; //頂點數 int e; //邊數 }MGraph; void DijkstraPath(MGraph g,vector<int> &dist,vector<int> &path,int v0) //v0表示源頂點 { int i,j,k; vector<bool> visited=vector<bool>(g.n); for(i=0;i<g.n;i++) //初始化,用起點v到直接相鄰頂點i的邊(弧)初始化最短路徑，否則設為∞； { if(g.matrix[v0][i]>0&&i!=v0) { dist[i]=g.matrix[v0][i]; path[i]=v0; //path記錄最短路徑上從v0到i的前一個頂點 } else { dist[i]=INT_MAX; //若i不與v0直接相鄰，則權值置為無窮大 path[i]=-1; } visited[i]=false; //初始化所有頂點為未擴展 path[v0]=v0; dist[v0]=0; } visited[v0]=true; for(i=1;i<g.n;i++) //循環擴展n-1次 { int min=INT_MAX; int u; for(j=0;j<g.n;j++) //尋找未被擴展的權值最小的頂點 { if(visited[j]==false&&dist[j]<min) { min=dist[j]; u=j; } } visited[u]=true; for(k=0;k<g.n;k++) //更新dist數組的值和路徑的值，計算起點v到u的鄰接點的最短路徑，若(v,…,u)+(u,w)<(v,…,w)，則以(v,…,u,w)代替 { if(visited[k]==false&&g.matrix[u][k]>0&&min+g.matrix[u][k]<dist[k]) { dist[k]=min+g.matrix[u][k]; path[k]=u; } } } } void showPath(vector<int> & path,int v,int v0) //輸出起點v0到頂點i的最短路徑上的各個頂點 { stack<int> s; int u=v; while(v!=v0) //逆向遍歷，將最低按路徑入棧 { s.push(v); v=path[v]; } s.push(v); cout<< "起點" <<v0<<"到頂點" <<v<<"的最短路徑：" ; while(!s.empty()) { cout<<s.top()<<" "; s.pop(); } } int main(int argc, char *argv[]) { int n,e; //表示輸入的頂點數和邊數 while(cin>>n>>e&&e!=0) { int i,j; int s,t,w; //表示存在一條邊s->t,權值為w MGraph g; int v0; vector<int> dist=vector<int>(n); vector<int> path=vector<int>(n); for(i=0;i<N;i++) for(j=0;j<M;j++) g.matrix[i][j]=0; g.n=n; g.e=e; for(i=0;i<e;i++) { cin>>s>>t>>w; g.matrix[s][t]=w; } cin>>v0; //輸入源頂點 DijkstraPath(g,dist,path,v0); for(i=0;i<n;i++) { if(i!=v0) { showPath(path,i,v0); cout<<dist[i]<<endl; } } } return 0; }
以上是求起點到任意一點的最短距離，若要求
利用貪心算法解題，需要解決兩個問題：
一是問題是否適合用貪心法求解。我們看一個找幣的例子，如果一個貨幣系統有三種幣值，面值分別為一角、五分和一分，求最小找幣數時，可以用貪心法求解；如果將這三種幣值改為一角一分、五分和一分，就不能使用貪心法求解。用貪心法解題很方便，但它的適用范圍很小，判斷一個問題是否適合用貪心法求解，目前還沒有一個通用的方法，在信息學競賽中，需要憑個人的經驗來判斷。
二是確定了可以用貪心算法之后，如何選擇一個貪心標准，才能保證得到問題的最優解。在選擇貪心標准時，我們要對所選的貪心標准進行驗證才能使用，不要被表面上看似正確的貪心標准所迷惑。