貪心算法-圖的最短路徑算法Dijkstra之證明

一、問題：圖的最短路徑

　　定義圖G=(V,E),而且每條邊上的權值非負，求頂點s 到圖中任意一點的最短距離。圖中任意兩點之間的距離定義為：路徑上所有邊的權值的和。

二、算法：Dijkstra算法

 　　設S是探查的頂點的集合，對每個,我們存儲一個距離d(u)

 　　初始S={s},d(s)=0

　　　　While S != V

　　　　　　選擇一個頂點使得從S到v至少有一條邊並且

　　　　　　

　　　　　　把v加入到S並且定義

　　　　End

三、證明算法的正確性：

　　只需證明，在算法執行中任意一點的集合S，對每個，路徑是最短的s-u路徑。

 　用數學歸納法證明算法的正確性：

1. |S|=1 時， S={s},d(s)=0 顯然成立
2. 假設|S|=k時，命題成立

　　 既對每個，路徑P_u是最短的s-u路徑

　 3. |S|=k+1

　　 假設此時引入的頂點是v，令(u,v)是s-v路徑上最后的一條邊。

　　 現在我們證明是s-v的所有路徑中最短的路徑。

　　 s要到達v，必須首先離開S，然后到達y,最后y到達v

　　 該距離:

　　 而從Dijkstra算法知，

　　 又因為，圖中所有邊的權值非負，

　　 所以有：

　　    故而P_v是s-v的所有路徑中最短的路徑。