作者：桂。
時間：2017-12-19 21:39:08
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前言
前幾天碰到一個序列分析的問題，涉及到自回歸（auto-regression, AR）等模型，但如何確定序列的平穩性呢？ 發現金融數據分析里，這方面的知識很多，以后用到可以借鑒，例如伍德里奇《計量經濟學導論》，高鐵梅《計量經濟分析方法與建模》，關鍵詞：序列檢測與判定、概率模型、統計。
一、平穩特性
序列的平穩特性通常從三個方面分析：
1）均值
均值不應該是關於時間t的函數，而應該是一個常數。
2）方差
方差不應該是時間的函數，即方差需要有：同方差性（homoscedasticity）
3）協方差
i時刻與i+m時刻協方差不應該是時間的函數：
常用的平穩定義包括：1）嚴平穩；2）寬平穩；對於手中的序列，嚴平穩難以判定，通常用寬平穩判據：一階矩、二階矩，即從均值、方差角度考慮，而不再考慮高階分布特性。
給定序列：
X(t) = Er(t)
其中Er(t)為高斯白噪聲序列，則x(t)為平穩信號。
給定序列：
X(t) = X(t-1) + Er(t)
這便是隨機游走：
小女孩從初始位置出發，經過若干步之后，位置可表示為：
X(t) = X(0) + Sum(Er(1),Er(2),Er(3).....Er(t))
隨機游走的平穩性:
1）均值
E[X(t)] = E[X(0)] + Sum(E[Er(1)],E[Er(2)],E[Er(3)].....E[Er(t)])
均值是常數。
2）方差
Var[X(t)] = Var[X(0)] + Sum(Var[Er(1)],Var[Er(2)],Var[Er(3)].....Var[Er(t)])
即
Var[X(t)] = t * Var(Error) = Time dependent.
方差是時間的函數，可見隨機游走是非平穩過程。
二、平穩性檢驗
上文分析隨機游走：
X(t) = X(t-1) + Er(t)
是非平穩過程。
白噪聲序列：
X(t) = Er(t)
是平穩隨機過程。
現在進行折中：
X(t) = Rho * X(t-1) + Er(t)
上面兩個例子分別對應Rho = 0、1.
Rho = 0:
Rho= 0.5:
Rho = 0.9:
Rho = 1:
從圖中可以看出，除了Rho = 1具有明顯的非平穩特性外，其余序列都可近似看作平穩特性，此時已經不是嚴格意義的平穩（不一定滿足寬平穩條件），通常借助其他方式檢驗：
H0:...; H1:...，進行判定。
三、其它
對於AR模型：
先看AR（1）的情形：
求方差：
可以看出平穩條件：
，這與上文Rho絕對值介於（0，1）的結論是一致的。
推廣到AR（2）:
平穩條件為對應特征方程（高數-齊次方程的內容）：
即：
更一般地，對於AR模型：特征值均論在單位圓內。可以看出平穩的判定是一種思路，與平穩條件：寬平穩並非嚴格等價。但這提供了檢驗平穩性的思路。ARMA等模型的分析與此類似，AR、ARMA的模型要求序列滿足平穩特性，但對於擬合殘差沒有任何約束，基於異方差特性的ARCH等模型就是從這個種子里生出的新芽。