*第二數學歸納法證明的結論和[第一數學歸納法](http://www.cnblogs.com/liqiuhao/p/7792374.html)是一樣的，都是證明（局部）非負數元素都具有某些性質。但是第二數學歸納法中P(n)的推理是基於P(0~n)而非僅僅是P(n)。*
第二數學歸納法（Strong Induction），設P是作用在非負整數的謂詞：
- P(0)成立
- 對於所有的n，P(0), P(1), P(2) ... P(n)共同推出P(n + 1)
- 則對於所有的非負整數m，P(m)成立
可以看到，在使用第一數學歸納法的時候我們只用了P(n)，而第二數學歸納法相比於第一數學歸納法在推P(n + 1)的時候使用更多的假設（P(0), P(1), P(2) ... P(n) ），用公式表達如下：
第二數學歸納法使用的模版和第一數學歸納法很像，除了兩個地方：
- 聲明證明使用的是第二數學歸納法
- 推理部分要假設P(0), P(1), P(2) ... P(n) 都是正確的。
硬幣問題：
在太平洋上有一個叫做Inductia的國家，他們使用一種叫做Strong的硬幣（簡稱Sg）。當年在印刷這種硬幣的時候由於經費問題就只印刷了面值為3Sg和5Sg的硬幣。雖然當地居民在找小額零錢（例如4Sg或者7Sg）的時候會有一些麻煩，但是他們發現任何大於等於8Sg的面額都能使用這兩種硬幣找開，例如26Sg可以用下面這種方案：
請給出證明。
- 下面使用第二數學歸納法證明。
- 設P(n)為對於8+n面額的錢，居民們可以用3Sg和5Sg的硬幣找開。
- 當n=0，8Sg = 5Sg + 3Sg，所以P(0)成立。
- 設p(0)，p(1)，p(2) ... p(n)均成立(n > 2)，證明p(n + 1)成立：對於8 + n + 1的面額，可以前將其變為(8 + n + 1 - 3) + 3即(8 + n - 2) + 3這樣的面額，由於我們已經假設了P(n - 2)的成立，所以(8 + n - 2) + 3可以由P(n - 2)的方案加上一個3Sg的硬幣組合而成，所以P(n + 1)成立。對於n <=2：n = 2時，10 = 5 + 5；n = 1時，9 = 3*3。（這里要注意將n小於等於2的情況分開討論，因為P(n-2)在n<2的時候沒有定義，即歸納推理的“鏈條”不能斷）
- 由歸納法，所有大於等於8Sg的面額居民都能用這兩種硬幣找開。
注：這個問題本質上是因為5和3的最大公因數是1，所以它們的線性組合可以得出任何數（1的整數倍），另外在5*1 + 3*1 = 8以上的任何數都可以用5a + 3b 表示，其中a和b都是非負數。后面我寫數論部分的時候會給出具體證明的。
堆垛游戲：
在你的面前是一個由n個木塊堆起來的堆垛，你每次可以將一個堆拆成兩個堆，除非這個堆只剩下了一個木塊。在每次分拆一個堆的時候你可以獲得一些分數，例如，你將一個a+b塊木塊的堆拆成了a塊的堆和b塊的堆，你就可以得到a*b分。直到所有的堆都只含一個木塊，游戲結束。例如，下圖顯示了一個拆一個由10個木塊組成的堆的一種方案，其得分為45分 :
設請問你該采取什么策略能獲得最高的分數？
我的第一想法是每次都把堆拆成兩個相同高度的堆或者相差為1，例如5*5 = 25 > 1 * 9，但隨后我意識到雖然第一次可能會大，但是隨后可能會比較小，例如2 * 3 < 1 * 8。聯想到這個題是要用歸納法的，自然覺得可能和策略無關，即不管什么策略都會得到相同的分數。試一下上面這個例子，每次都只拿走一個木塊：9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45，果然是這樣，其中1+2+3 ... +n = (n+1)*n/2，下面證明：
- 以下證明使用第二數學歸納法。
- 設P(n)為對於木塊數為n的堆垛，其得分為n*(n+1)/2，和策略無關。
- P(0) = 0，即0*(0+1)/2 = 0，成立。
- 設P(1), P(2), P(3) ... P(n)成立。對於P(n + 1)，假設我們拆的第一步將其分為了木塊數分別為a和b的兩個堆，第一次得分為a*b，由於a和b都小於n+1，由P(a)和P(b)成立，我們可以知道最終的總得分為第一次的得分ab加上拆剩下兩個堆的分數之和：ab + a*(a+1)/2 + b*(b+1)/2 = (a^2 + b^2 + ab + a + b)/2 = (a^2 + b^2 +2ab + n + 1)/2 = ( (a+b)^2 + (n+1) )/2 = ((n+1)^2 + (n+1))/2 = (n+1 + 1)(n+1)/2。所以推得P(n+1)成立。
- 由歸納法得到對於任意非負整數n，這個游戲的最終得分都是n*(n+1)/2，和策略無關。
參考：