計算機就是數學的一個分支，不管你認不認同，你都會發現在編程的過程中，你能夠發現很多的數學思維的閃現，就比如遞歸，遞歸可以讓程序簡化，與非遞歸比較，簡單的遞歸函數省去了大段大段的代碼，讓人嘆服不已，遞歸往往能體現設計者頭腦的聰慧，但是遞歸的思想與數學又有什么相關呢？
本文將介紹遞歸與數學歸納法之間的聯系，希望給讀者一些啟迪。
要說遞歸得先說，數學歸納法，想必每一個程序員在高中的時候就應該學習了數學歸納法，當我們需要去證明一個證明題時，很可能就要用到數學歸納法，數學歸納法的思想如下：
一般地，證明一個與自然數n有關的命題P(n），有如下步驟：
（1）證明當n取第一個值n0時命題成立。n0對於一般數列取值為0或1，但也有特殊情況；
（2）假設當n=k（
k≥n0，k為自然數）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。
綜合（1）（2），對一切自然數n（≥n0），命題P(n）都成立。
其實，數學歸納法利用的是遞推的原理，形象地可以叫做多米諾原理。因為N+1的成立就可以向前向后遞推所有數都成立。
而遞歸利用的也是遞推的原理，在整個程序中，反復實現的將是同一個原理。在這一點上，遞歸與數學歸納法本質是相同的。所以往往可以利用數學歸納法來設計遞歸的實現。計算機是數學應用的一個分支在這里體現的淋漓盡致。
而遞歸利用的也是遞推的原理，在整個程序中，反復實現的將是同一個原理。在這一點上，遞歸與數學歸納法本質是相同的。所以往往可以利用數學歸納法來設計遞歸的實現。計算機是數學應用的一個分支在這里體現的淋漓盡致。
這里我們先來看一個例子，非常簡單，設計一程序，求自然數N的階乘N！：
現在已知N!=N*(N-1)*(N-2)*(N-3)*…*2*1
首先可知當N=1時 N!=1
第二步可設當R(N)=N!，R(N+1)=(N+1)!
第三步，求R(N+1)與R(N)之間的關系。R(N)=N!，
而R(N+1)=(N+1)!=(N+1)*(N)*(N-1)*…*2*1=(N+1)*N!=(N+1)*R(N)
即：R(N+1)=(N+1)*R(N) =〉 R(N)=N*R(N-1)
現在根據這個公式草略地構造一個函數：
factorial (int N)
{
return N * factorial (N - 1) /* 遞歸部分 */
}
接下來補充截止部分，這一部分在整個過程中只使用一次，沒有它，程序就將無限遞歸下去。可以說它是程序運行棧的棧頂，到了它，就開始一步步退棧了。
函數改為：
factorial (int N)
{
if (N == 1) return 1;
return N * factorial (N - 1) /* 遞歸部分 */
}
首先可知當N=1時 N!=1
第二步可設當R(N)=N!，R(N+1)=(N+1)!
第三步，求R(N+1)與R(N)之間的關系。R(N)=N!，
而R(N+1)=(N+1)!=(N+1)*(N)*(N-1)*…*2*1=(N+1)*N!=(N+1)*R(N)
即：R(N+1)=(N+1)*R(N) =〉 R(N)=N*R(N-1)
現在根據這個公式草略地構造一個函數：
factorial (int N)
{
return N * factorial (N - 1) /* 遞歸部分 */
}
接下來補充截止部分，這一部分在整個過程中只使用一次，沒有它，程序就將無限遞歸下去。可以說它是程序運行棧的棧頂，到了它，就開始一步步退棧了。
函數改為：
factorial (int N)
{
if (N == 1) return 1;
return N * factorial (N - 1) /* 遞歸部分 */
}
上面的步驟是可以顛倒的，而且首先設計截至部分還要好一些。
現在來總結設計遞歸程序的步驟：
一、用數學歸納法分析問題，根據數學歸納法的第一步得出截至部分。
二、根據數學歸納法的第三步來構造函數的遞歸部分。其實這個求解過程就是找出R(N)與R(N-1)的關系式。
現在利用總結出的方法做一個練習，比較經典的漢諾塔。
漢諾塔想必大家都知道：三個立柱（命名為from、temp、to，from為圓盤初始所在立柱、to是目標立柱），N個直徑不相等的 圓盤 ，將 圓盤 從from上一個一個移動在to上，要求，每次只能移動一個 圓盤 ，而且只能在三個立柱之間移動。不能出現大盤壓小盤的情況。
首先用數學歸納法分析：
當只有一個 圓盤的時候，我們可以確定唯一動作：直接將圓盤從from移動到to上。
現在假設有N個圓盤在from上，而我們可以將這些圓盤最終按要求移動到to上（當然也可以移動到temp上）。
那么我們可以證明如果有N+1個時候，我們也可以將圓盤全部按要求移動到to上：因為我們可以先將上面的N個移動到temp上（第二步已假設），再把剩下的最后一個移動到to上，再把temp上的移動到to上。
按照我們總結過的遞歸函數設計步驟來設計程序：
首先，確定截至部分：當只有一個圓盤移動的時候，直接將它移動到to上。即：if (n == 1) move (n, from, to);
（這里的move函數意義是將n號圓盤，或者說初始狀態下從上面數第n個圓盤，從from移動到to）
第二步確定遞歸部分，其實就是N+1與N的關系部分，就是紅色字體部分。現在開始把文字轉化為程序：
設Hanoi (int n, int from, int temp, int to)函數就是我們要求的漢諾塔實現函數，意義是將按直徑遞增摞在一起的n個圓盤從from按要求移動到to上，temp為輔助圓盤。
可寫出代碼：
Hanoi (n-1, from, temp); /* 先將上面的N個移動到temp上 */
move (n, from, to); /* 剩下的最后一個移動到to上 */
Hanoi (n-1, temp, to); /* 再把temp上的移動到to上 */
第二步完成，最后合成函數：
void
Hanoi (int n, int from, int temp, int to)
{
if (n == 1)
move (n, from, to);
else
{
Hanoi (n-1, from, temp);
move (n, from, to);
Hanoi (n-1, temp, to);
}
}
現在來總結設計遞歸程序的步驟：
一、用數學歸納法分析問題，根據數學歸納法的第一步得出截至部分。
二、根據數學歸納法的第三步來構造函數的遞歸部分。其實這個求解過程就是找出R(N)與R(N-1)的關系式。
現在利用總結出的方法做一個練習，比較經典的漢諾塔。
漢諾塔想必大家都知道：三個立柱（命名為from、temp、to，from為圓盤初始所在立柱、to是目標立柱），N個直徑不相等的 圓盤 ，將 圓盤 從from上一個一個移動在to上，要求，每次只能移動一個 圓盤 ，而且只能在三個立柱之間移動。不能出現大盤壓小盤的情況。
首先用數學歸納法分析：
當只有一個 圓盤的時候，我們可以確定唯一動作：直接將圓盤從from移動到to上。
現在假設有N個圓盤在from上，而我們可以將這些圓盤最終按要求移動到to上（當然也可以移動到temp上）。
那么我們可以證明如果有N+1個時候，我們也可以將圓盤全部按要求移動到to上：因為我們可以先將上面的N個移動到temp上（第二步已假設），再把剩下的最后一個移動到to上，再把temp上的移動到to上。
按照我們總結過的遞歸函數設計步驟來設計程序：
首先，確定截至部分：當只有一個圓盤移動的時候，直接將它移動到to上。即：if (n == 1) move (n, from, to);
（這里的move函數意義是將n號圓盤，或者說初始狀態下從上面數第n個圓盤，從from移動到to）
第二步確定遞歸部分，其實就是N+1與N的關系部分，就是紅色字體部分。現在開始把文字轉化為程序：
設Hanoi (int n, int from, int temp, int to)函數就是我們要求的漢諾塔實現函數，意義是將按直徑遞增摞在一起的n個圓盤從from按要求移動到to上，temp為輔助圓盤。
可寫出代碼：
Hanoi (n-1, from, temp); /* 先將上面的N個移動到temp上 */
move (n, from, to); /* 剩下的最后一個移動到to上 */
Hanoi (n-1, temp, to); /* 再把temp上的移動到to上 */
第二步完成，最后合成函數：
void
Hanoi (int n, int from, int temp, int to)
{
if (n == 1)
move (n, from, to);
else
{
Hanoi (n-1, from, temp);
move (n, from, to);
Hanoi (n-1, temp, to);
}
}
下面我們來看下一次例子，鏈表逆置。
假如鏈表只有一個元素，必然可以逆置
1->null ---------null<-1
假如鏈表有k個元素，也可以逆置，逆置后返回逆置后的頭結點
那么只要證明鏈表有k+1個元素也可以逆置，新添加的元素在鏈表頭。
其實代碼很簡單：
Node* reverse(Node* head)
{
Node* p;
//當鏈表只有一個元素的時候直接，直接返回，即逆置成功。
if( head->next ==null)
{
return head;
}
else
{
//假設k個節點的鏈表可以逆置成功，並返回逆置后的鏈表頭結點
p = reverse(head->next);
//判斷第k+1個節點(第k+1個節點位於鏈表頭)是否可以逆置？如何做呢，前提：我們知道k個結點逆置后的尾節點，同時還知道第k+1個結點，所以下面就是逆置第k+1個結點
head->next->next = head;
head->next = null;
//因為要返回逆置后的頭結點，所以將尾節點向上傳遞
return p;
}
}
使用數學歸納法設計遞歸程序最大的好處就是可以使設計者擺脫對 遞推的顧慮 。因為你設計的代碼必定隱含着遞推的步驟。直接根據你的分析文字轉化為代碼即可。
本文還有很多不足之處，歡迎讀者指教。
使用數學歸納法設計遞歸程序最大的好處就是可以使設計者擺脫對 遞推的顧慮 。因為你設計的代碼必定隱含着遞推的步驟。直接根據你的分析文字轉化為代碼即可。
本文還有很多不足之處，歡迎讀者指教。