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以前上學的時候沒有學好數學歸納法，最近又學習了一下，其實數學歸納法有好幾種，這里介紹的是第一類數學歸納法和第二類數學歸納法
第一類數學歸納法
百度上是這么解釋的：
第一數學歸納法可以概括為以下三步：
(1)證明n=1時命題成立；
(2)假設n=k時命題成立；
(3)由歸納假設推出n=k+1時命題也成立
高中的時候不是很理解這其中的道理。
通常證明第1點很容易，將n=1代入給定的式子就可以得證。現在作為證明人，我們這樣假設：假設n=k時成立，有了這個假設，如果我們以此推出了n=k+1時也成立，那么命題得證。
這其中的道理何在呢：這樣的題無非是想讓我們證明對於所有的n（如果n為正整數，則n=1，n=2，n=3……）命題都成立。我們已然證明了n=1時成立，根據假設n=k成立，我們又能證明n=k+1時也成立，
這意味我們可以將k=1代入，得出n=2命題成立，將k=2代入，得出n=3時命題成立……依次類推，可以得出對所有的正整數都成立，這是一種非常直觀的感覺。
光有感覺不行，我們得證明這種歸納是正確的：
假設確實有那么一些數，使得命題不成立，設這些數構成的集合為S，取S中的最小的那個數m，我們知道m-1是可以讓命題成立的（因為m-1在S之外），由於我們之前已經證明如果n=k成立，是可以推出n=k+1也成立的，所以m-1成立肯定也能推出m成立，
得出矛盾。
高中接觸的是第一類歸納法，現在來用它證明等差數列前n項和公式：
證明：
n=1時，左邊等於右邊，命題成立
假設n=k時成立，即
，等式兩邊同時加上k+1得
即我們由n=k命題成立可以推出n=k+1使得命題成立，故命題得證
第二類數學歸納法
（1）當n=1時，命題成立；
（2）假設當n≤k（k∈N）時，命題成立，由此可推得當n=k+1時，命題也成立。那么命題對於一切正整數n來說都成立。
其正確性的證明類似第一類數學歸納的證明：
假設存在使得命題不正確的數集S，則S中必然存在最小的一個數m，由於m-1可讓命題為真，由條件可知m也可讓命題為真，得出矛盾。
斐波那契通項的證明
斐波那契數列是這樣的數列：0，1，1，2，3，5，8……，即f(0)=0,f(1)=1,f(n)=f(n-1)+f(n-2) (n>=2)。我們設：
證明：
我先用第二類數學歸納法證明：
當n=1時，
，命題成立
假設n<=k-1時成立，結合斐波那契數列的定義我們有：
命題得證
該命題不可以用第一類數學歸納法來證明。我們由斐波納契的通項公式可發現，這是一個遞推式，即f(n)推導依賴於其前兩項，就是由“小的”可以推出“大的”，
這正契合了第二類歸納法中由n<=k-1推出n=k的情況，正是我們假設n<=k-1成立，自然也就假設了n=k-1，n=k-2也成立，而恰恰這兩項的和是n=k這一項，再結合1+1/a=a和
1+1/b=b，從而得出證明，可謂巧妙。
- 本文的數學公式用的是一個在線編輯器，如果你有更好的方式，歡迎告知，謝謝。
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