*數學歸納法是一種顯示（局部）自然數元素都具有某種性質的有力工具。在離散數學和計算機科學中它都起到了重要作用。事實上，它的使用本身就是對離散性質的一種定義。歸納法的缺點在於它無法告訴你“究竟發生了什么”，即性質成立的根本原因，不過這也是它的一個優點，降低了證明的復雜性。*
在這篇博文和之后的博文中我會通過一些有意思的問題介紹數學歸納法中的第一數學歸納法和第二數學歸納法以及不變性原理（歸納法的一種，通常被用在step-by-step的推理過程中），並在最后總結良序原理、第一數學歸納法和第二數學歸納法的聯系。
第一數學歸納法（Ordinary Induction）: 設P是對於非負整數的一個謂語，則
- P(0)成立
- 對於所有的非負整數n，P(n) -> p(n + 1)
- 則對於所有的非負整數m，P(m)成立
看起來這個方法非常簡單，以至於我們可能找不到能證明它的正確性的公理（實際上它和良序原理是等價的）。用公式表示就是：
通常而言，使用第一數學歸納法都可以遵循下面這個模版：
- 聲明接下來的證明會采用歸納法。
- 定義正確的謂詞P，P(n)通常被稱作“歸納假設”。歸納最后得到的結論就是對於所有非負整數p(n)均成立。一個清晰的歸納假設通常是歸納法中最重要的一步，所以不要簡寫！簡單的情況下P就是你要證明的東西，但有些時候P可能會包含一些變量，這個時候就要說明清楚哪一個是n。
- 證明P(0)成立。
- 證明對於所有非負整數n，P(n) -> P(n + 1)。即假設P(n)成立，然后利用P(n)成立這個假設推出p(n + 1)也是成立的。要注意的是，我們必須保證P(n) -> P(n + 1)對於所有非負整數都是能夠成立的，即“推理鏈條”不能被中斷（本文最后會有一個反面例子）。
- 由歸納法得出結論。
**施塔特中心的地板磚問題（應該是一個真實的事）： **
幾年前MIT打算建一座名叫施塔特中心的建築物，但是在建築過程中發生了資金不足的情況。校董事會商議后決定邀請社會人士捐款，並為捐款最多的一位做一座雕像B立在大廳。這個建築的設計師設計的大廳形狀是一個由瓷磚鋪成的長寬為2^n的正方形，而且采用的瓷磚也很特別，是一個由三個1 * 1正方形組成的L形瓷磚，如下圖所示：
設計師還要求，雕像B只能立在大廳的正中心（對於n=0，整個大廳就是那一個雕像，其余的情況雕像必須放在中心的2 * 2的空間內），其中n = 2的情況如下圖所示：
設計師的方案對於n的取值又要求嗎？還是說對於任意非負整數n都能滿足呢？
下面利用第一數學歸納法對其進行證明：
- 本次證明采用數學第一歸納法
- 設謂詞P(n)為對於非負整數n，設計師的要求能夠滿足。
- P(0)成立因為B雕像占據了整個大廳（不需要鋪瓷磚）。
- 假設P(n)成立，即對於一個2^n長寬的正方形，我們可以把B雕像放在中心位置，其余的部分鋪上L形瓷磚。
這個時候問題發生了，我們不能由P(n)推出P(n + 1)，因為我們只能得到可以在2^(n + 1)的正方形中心的四個對角方向的“中心”可以放置B雕像。
當這種情況發生時，首先的想法應該是找一個更加普遍或者說強壯的歸納假設，也就是之前歸納假設的超集。例如在這題中，我們可以把P(n)變為對於一個2^n長寬的正方形，我們可以把B雕像放在其中的任意位置，其余的部分鋪上L形瓷磚。
這看起來有些奇怪——“如果你證明不了A，那就證明比A更普遍的B”——但是在歸納法中確實是這樣的，因為我們在推P(n + 1)的時候也可以獲得更好的條件。當然，增強后的P(n)首先要是（至少感覺上）是正確的。下面就采用增強后的P來證明：
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本次證明采用數學第一歸納法
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設謂詞P(n)為對於非負整數n，可以把B雕像放2^n正方形的任意位置，其余的部分鋪上L形瓷磚。。
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P(0)成立因為B雕像占據了整個大廳（不需要鋪瓷磚）。
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假設P(n)成立，即對於一個2^n長寬的正方形，我們可以把B雕像放在其中的任意位置，其余的部分鋪上L形瓷磚。那么對於P(n + 1)，即一個2(n+1)長寬的正方形，我們可以將其分為四個2n的正方形，而對於其中的每個正方形，由於P(n)成立，我們將其中的三個正方形的對角的那個1*1正方形空出來，在2(n+1)的正方形中心形成一個L形，並鋪上一塊瓷磚，這個時候我們就可以在剩下的那個2n的正方形中任意放置B雕像了，如下圖所示：
由於這三個2n的正方形選擇是隨機的，所以可以得出結論，即我們可以在2(n+1)的正方形任意位置放置B雕像，其余部分鋪上L形瓷磚。
5.由歸納法得出對於非負整數n，我們可以把B雕像放在一個2^n長寬的正方形中的任意位置，其余的部分鋪上L形瓷磚。
所以我們當然也可以把雕像放在中心位置了。可以看到，我們不僅證明了一個更強的結論，還找到了實現這種結論的算法。
如前面所說，在進行p(n) -> p(n + 1)這步時，我們必須保證P(n) -> P(n + 1)對於所有非負整數都是能夠成立的，即“推理鏈條”不能被中斷。這里舉出一個有名的反面教材，證明所有的馬都是一種顏色：
1.本次證明使用第一數學歸納法。
2.設命題P(n)為對於任意n匹馬（n>=1)，它們的顏色一樣。
3.這個命題對n=1時成立，即，只有1匹馬時，馬的顏色只有一種。
4.假設這個命題對n成立，即假設任何n匹馬都是一種顏色。那么當我們有n+1匹馬時，不妨把它們編好號：
1, 2, 3……n, n+1 ，對其中（1、2……n）這些馬，由我們的假設可以得到，它們都是同一種顏色；對（2、3……n、n+1）這些馬，我們也可以得到它們是一種顏色；由於這兩組中都有（2、3、……n）這些馬，所以可以得到，這n+1種馬都是同一種顏色。即P(n) -> p(n + 1)
5.得到所有的馬顏色相同。
這個證明的錯誤來於推理的第二步：當n=1時，n+1=2，此時馬的編號只有1、2，那么分的兩組是（1）和（2）——它們沒有交集，所以第二步的推論是錯誤的。數學歸納法第二步要求n→n+1過程對n=1，2，3……的數都成立，而上面的證明就好比多米諾骨牌的第一塊和第二塊之間間隔太大，推倒了第一塊，但它不會推倒第二塊。即使我們知道第二塊倒下會推倒第三塊等等，但這個過程早已在第一和第二塊之間就中斷了。
參考：