將學習到什么？
本部分介紹酉相似的一些內容，主要是定義和兩個特殊的酉相似。
基礎
酉相似是一種特殊類型的相似，定義如下
與相似關系一樣，酉相似也是一種等價關系.
下面的定理說明了酉相似不改變矩陣的 2 范數。
證明：由於 \(\mathrm{tr}\, (A^*A)=\sum_{i,j=1}^{n,m} \lvert a_{ij} \rvert ^2\), 所以只需驗證 \(\mathrm{tr}\, (A^*A)=\mathrm{tr}\, (B^*B)\). 如下
\begin{align}
\mathrm{tr}\, (A^*A)=\mathrm{tr}\, (V^*B^*U^*UBV)=\mathrm{tr}\, (B^*BVV^*)=\mathrm{tr}\, (B^*B)\notag
\end{align}
與相似類似的是，酉相似對應於基的改變，不過是特殊類型的——酉相似對應的是從一組標准正交基到另一組標准正交基的改變。
深入一點
酉相似於對角元素相等的矩陣
比如對於 2 維實矩陣 \(A\). 如果 \(A=[a_{ij}]\) 元素不相等，考慮平面旋轉矩陣 \(U_{\theta}=\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}\). 計算 \((\cos ^2\theta-\sin^2\theta)(a_{11}-a_{22})=2\sin \theta \cos\theta(a_{12}+a_{21})\) 可發現 \(U_{\theta}AU_{\theta}^T\) 的對角元素相等, 所以可選取 \(\theta \in (0,\pi / 2)\) 使得 \(\cot 2\theta=(a_{12}+a_{21}) / (a_{11}-a_{22})\), 這樣就達到目的了. 對於 \(n>2\) 維的矩陣，定義 \(f(A)=\max \{\lvert a_{ii}-a_{jj} \rvert : i,j=1,2,\cdots,n\}\). 如果 \(f(A)>0\), 就對滿足 \(f(A)=\{\lvert a_{ii}-a_{jj} \rvert \}\) 的一對指標 \(i,j\), 令 \(A_2=\begin{bmatrix} a_{ii} & a_{ij} \\ a_{ji} &a_{jj}\end{bmatrix}\). 設 \(U_2\in M_2\) 是酉矩陣，當 \(A\) 是實的時它是實的。且使得 \(U_2^*A_2U_2\) 的兩個主對角元素都等於 \(\frac{1}{2}(a_{ii}+a_{jj})\), 以在酉矩陣中從 \(2\times 2\) 平面旋轉構造出 \(U(\theta;i,j)\) 的方式從 \(U_2\) 構造出 \(U_{i,j}\in M_n\). 酉相似 \(U(i,j)^*AU(i,j)\) 只影響到行與列在 \(i\) 與 \(j\) 的元素，所以它保持 \(A\) 的每一個主對角元素不變，除非該元素在位置在 \(i\) 與 \(j\) 處，這樣的元素以平均值 \(\frac{1}{2}(a_{ii}+a_{jj})\) 代替.
重復上述步驟，即可使矩陣 \(A\) 變換到所有對角元素都相等的矩陣.
與上 Hessenberg 矩陣酉相似
設給定 \(A=[a_{ij}]\in M_n\). 下面的構造表明 \(A\) 與一個第一條次對角線元素非負的上 Hessenberg 矩陣是酉相似的. 設 \(a_1\) 是 \(A\) 的第一列，它被分划成 \(a_1^T=[a_{11}, \xi^T]\), 其中 \(\xi \in \mathbb{C}^{n-1}\). 如果 \(\xi=0\), 就令 \(U_1=I_{n-1}\), 反之，就利用 QR 分解 中定理 1.1 中的構造方法構造 \(U_1=U(\lVert \xi \rVert _2 e_1 , \xi )\in M_{n-1}\), 它是將 \(\xi\) 變成 \(e_1\) 的正倍數的酉矩陣. 構造酉矩陣 \(V_1=I_1\oplus U_1\) 並注意到 \(V_1A\) 的第一列是列向量 \([a_{11},\lVert \xi \rVert _2, 0]^T\). 此外，\(A_1=(V_1A)V_1^*\) 與 \(V_1A\) 的第一列相同，且與 \(A\) 酉相似。重復上述步驟，經過至多 \(n-1\) 步，就構造產生出了一個上 Hessenberg 矩陣，它與 \(A\) 酉相似，且次對角線元素非負.
應該學習到什么
- 酉相似不改變矩陣的 2 范數
- 酉相似把一組標准正交基變換到另一組標准正交基
- 酉相似於對角元素相等的矩陣
- 與上 Hessenberg 矩陣酉相似