將學習到什么
介紹一個非常有用的定理：任何復方陣 \(A\) 與以 \(A\) 的特征值作為對角元素的一個三角矩陣酉相似, 以及總可以通過實正交相似將矩陣化為一個實的擬三角型並作了相應的推廣.
Schur 型
**證明：** 設 $U_1=[x \quad u_2 \quad \cdots \quad u_n]$ 是任意一個第一列為 $x$ 的酉矩陣，比方說利用 [QR 分解](http://www.cnblogs.com/zhoukui/p/7746371.html)中定理 1.1 中的方法構造 $U_1=U(x,e_1)$, 這樣就有 \\begin{align} U\_1^\*AU\_1 &=U\_1^*\\begin{bmatrix} Ax & Au\_2 & \cdots & Au\_n \\end{bmatrix}=U\_1^\*\\begin{bmatrix} \lambda\_1 x & Au\_2 & \cdots & Au\_n \\end{bmatrix} \\notag \\\\ &=\\begin{bmatrix} x^\* \\\\ u\_2^\* \\\\ \vdots \\\\ u\_n^\* \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \lambda\_1 x & Au\_2 & \cdots & Au\_n \\end{bmatrix} =\\begin{bmatrix} \lambda\_1 x^\*x & x^\*Au\_2 & \cdots & x^\*A u\_n \\\\ \lambda\_1 u\_2^\*x & && \\\\ \vdots & & A\_1 & \\\\ \lambda\_1u\_n^\*x & & & \\end{bmatrix} \\notag \\\\ &= \\begin{bmatrix} \lambda\_1 & \bigstar\\\\ 0 & A\_1 \\end{bmatrix} \\notag \\end{align} 子矩陣 $A_1=[u_i^*Au_j]_{i,j=2}^n \in M_{n-1}$ 的特征值是 $\lambda_2,\cdots,\lambda_n$. 然后對矩陣 $A_1$ 重復上述操作直至完成. 如果 $A\in M_n(\mathbb{R})$ 所有的特征值都是實的，那么上面算法中所有的特征向量以及酉矩陣都可以取為實的.
推廣
上個定理有個推廣：由復矩陣組成的一個交換族可以通過單獨一個酉相似同時化簡為上三角型.
證明： 交換族中的矩陣存在共有的特征向量，在上個定理證明構造酉矩陣的過程中，選取對每一個 \(A\in \mathcal{F}\) 共有的單位特征向量，它們用同樣的方式縮減 \(\mathcal{F}\) 中的每一個矩陣. 相似性將交換性也保留下來，所以關於 \(U\) 的所有組成成分都可以對交換族的所有成員用同樣的方式選取. 在這個定理中，我們用到的公共特征向量是與 \(\mathcal{F}\) 中每一個矩陣的某個特征值相伴的，所以或許不能預先指定矩陣特征值的排列次序.
Schur 不等式
如果 \(A=[a_{ij}]\in M_n\) 有特征值 \(\lambda_1,\cdots,\lambda_n\), 且它與一個上三角矩陣 \(T=[t_{ij}]\in M_n\) 酉相似，\(T\) 的對角元素是 \(A\) 的特征值按照某種次序的排列. 由酉相似中定理 1.1 得 \(\sum_{i,j=1}^n \lvert t_{ij} \rvert ^2=\sum_{i,j=1}^n \lvert a_{ij} \rvert ^2\), 可得
\begin{align}
\sum_{i=1}^n \lvert \lambda_i \rvert ^2 = \sum_{i,j=1}^n \lvert a_{ij} \rvert ^2 - \sum_{i<j} \lvert t_{ij} \rvert ^2 \leqslant \sum_{i,j=1}^n \lvert a_{ij} \rvert ^2 = \mathrm{tr}\,(AA^*)
\end{align}
其中等式當且僅當 \(T\) 是對角矩陣成立.
實 Schur 型
如果一個實矩陣 \(A\) 有任何非實的特征值，就沒有希望通過一個實的相似將它化簡為上三角型 \(T\), 因為 \(T\) 的某個主對角元素（\(A\) 的特征值）就會不是實的. 然而，我們總可以通過實正交相似將 \(A\) 化為一個實的擬三角型，成對共軛的非實特征值與 \(2\times 2\) 分塊相伴.
證明：(a) 中的縮減方法與前邊介紹的類似，了解即可. (b) 中通過對構造出來的矩陣 \(S\) 作 QR 分解 \(S=QR\)，\(Q^TAQ\) 即是上擬三角矩陣.
上面的定理有一個用交換族來表達的形式：一個由實矩陣組成的交換族可以通過單獨一個實相似或者實正交相似被同時簡化成共同的上擬三角型. 正如先前的介紹一樣，我們不能控制與上一個定理中的對角塊相對應的特征值出現的次序.
應該知道什么
- 復矩陣可以通過酉相似化簡為上三角型
- 復矩陣組成的一個交換族可以通過單獨一個酉相似同時化簡為上三角型
- 總可以通過實正交相似將 \(A\) 化為一個實的擬三角型
- 一個由實矩陣組成的交換族可以通過單獨一個實相似或者實正交相似被同時簡化成共同的上擬三角型