查找數組中第k大的數

  問題：  查找出一給定數組中第k大的數。例如[3,2,7,1,8,9,6,5,4]，第1大的數是9，第2大的數是8……

思考：1. 直接從大到小排序，排好序后，第k大的數就是arr[k-1]。 

2. 只需找到第k大的數，不必把所有的數排好序。我們借助快速排序中partition過程，一般情況下，在把所有數都排好序前，就可以找到第k大的數。我們依據的邏輯是，經過一次partition后，數組被pivot分成左右兩部分：S左、S右。當S左的元素個數|S左|等於k-1時，pivot即是所找的數；當|S左|小於k-1，所找的數位於S右中；當|S左|>k-1，所找的數位於S左中。顯然，后兩種情況都會使搜索空間縮小。

算法的時間復雜度為：O(N)--詳情參考算法導論。

#include<iostream>
using namespace std;
int Partition(int a[], int i, int j)
{
　　int tmp = a[j];
　　int index =i;
　　if (i < j)
　　{
　　　　for (int k=i;k<j;k++){
　　　　　　if(a[k] >= tmp){
　　　　　　　　swap(a[index++],a[k]);
　　　　　　}
　　　　}
　　　　swap(a[index],a[j]);
　　　　return index;
　　}
}
int Search(int a[], int i, int j, int k)
{
　　　　int m = Partition(a, i, j);
　　　　if (k==m-i+1) return a[m];
　　　　else if (k<m-i+1)
　　　　{
　　　　　　return Search(a, i, m-1,k );
　　　　}
//后半段
　　　　else
　　　　{
　　　　　　return Search(a, m+1, j, k-(m-i+1));
　　　　}
}
int main()
{
　　　　int a[7] = { 8,7,6,1,2,3,4 };
　　　　int k = 3;
　　　　cout << Search(a,2, 6, k);
}

 

　　上述問題對應於尋找前K大個數。上述方法對應的數據量比較小，如果N很大，100億？甚至更多，這個時候數據不能夠全部放入內存，所以要求盡可能少遍歷數據。不妨設N>K,考慮前K個數中的最大K個數的一個退化的情況：所有K個數就是最大的K個數。如果考慮第K+1個數X呢？如果X比最大的K個數中的最小的數Y小，則最大的K個數保持不變。如果X比最大的K個數中個最小的數Y大，則最大的K個數要除去Y，加入X。如果用一個數組來保存前K大的數，每加入一個數X，就掃描一遍數組。得到數組中最小的數Y，用X代替Y或者保持不變。這種方法消耗的時間O(N*K)

　　進一步，可以用容量為K的最小堆來存儲最大的K個數。最小堆的堆頂元素就是K個數中最小的一個。每次考慮一個數X，如果X比堆頂元素Y小，則保持最小堆不變，因為這個元素比最大的K個數小。如果X

比堆頂元素Y大，那么用X替換原來的堆頂元素Y，X可能破壞原來的最小堆結構（每個結點比它的父節點大），需要更新堆來維持堆的性質。更新堆時間復雜度為O（log₂K).總的算法復雜度為O(N*log₂k)

#include <iostream>
using namespace std;
//調整堆
void HeapAdjust(int a[],int i,int size)
{
    int left = 2 * i + 1;
    int right = 2 * i + 2;
    int min = i;
    if (left < size&&a[left] < a[min])
            min = left;
    if (right < size&&a[right] < a[min])
        min = right;
        if (min != i)
        {
            int temp = a[min];
            a[min] = a[i];
            a[i] = temp;
            HeapAdjust(a,min,size); //避免調整之后以min為父節點的子樹不是堆
        }
}
//建立堆
void HeapBuild(int a[],int size)
{
    for (int i = size / 2 - 1; i >= 0; i--)
        HeapAdjust(a,i,size);
}
//k為需要查找的最大元素個數，size為數組大小，kMax存儲k個元素的最小堆  
void FindMax(int Array[], int k, int size, int kMax[])
{
    for (int i = 0; i < k; i++)
        kMax[i] = Array[i];
    HeapBuild(kMax,k);
    for (int j = k; j < size; j++)
    {
        if (Array[j] <= kMax[0]) continue;
        kMax[0] = Array[j];
        HeapAdjust(kMax,0,k);
    }
}
int main()
{
    int a[] = {10,23,17,8,52,35,7,1,28};
    int k = 4;
    int KMax[4] = {0};
    FindMax(a,k,9,KMax);
    for (int i = 0; i < k; i++)
        cout << KMax[i] << endl;
}