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以下為正文：
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序：最近被反演虐的不要不要的，遂決定寫一篇博文，防止以后自己翻車……
1.定義
莫比烏斯函數：$\mu(n)$
我們引入一個概念，狄利克雷卷積。即$（f*g）(n)=\sum_{d|n}f(d)*g(\frac n d)$。顯然，狄利克雷卷積是滿足交換律的。同時其也滿足結合律與分配率。
在引入一個概念，積性函數，即函數$f$對於互質的兩個數$i，j$滿足$f(i*j)=f(i)*f(j)$。其中如果對於任意$i,j$滿足$f(i*j)=f(i)*f(j)$，我們稱其為完全積性函數。
再例舉一些函數的符號：歐拉函數$\phi$，約數個數函數$d$，約數和函數$\sigma$，單位函數$id(n)=n$，元函數$\varepsilon(n)$,當n為1時，$\varepsilon(n)=1$，否則$\varepsilon(n)=0$，以及不變的函數$1(n)=1$。
這里給出一個線性篩的板子：
1 const int N=1e7+1; 2 3 int miu[N],prim[N/5],num,sum[N]; 4 bool vis[N]; 5 6 inline void init(){ 7 miu[1]=1; 8 sum[1]=1; 9 for(int i=2;i<N;i++){ 10 if(!vis[i]) 11 prim[++num]=i,miu[i]=-1; 12 for(int j=1;prim[j]*i<N;j++){ 13 vis[i*prim[j]]=1; 14 if(i%prim[j]==0){ 15 miu[i*prim[j]]=0; 16 break; 17 } 18 miu[i*prim[j]]=-miu[i]; 19 } 20 sum[i]=sum[i-1]+miu[i]; 21 } 22 }
2.莫比烏斯函數的性質
這一段是從目前做過的題總結的，以后沒准還得改（沒准寫的不夠……）
莫比烏斯函數一個十分總要的性質，即$(\mu *1)(n)$當且僅當$n==1$時，為1，否則為0。
關於這個的證明用 二項式定理+唯一分解定理 是很好證明的，這里就不多說了。
3.莫比烏斯反演
關於這塊，一來是式子太長，二來是百度已經寫得很全面了，所以蒟蒻就不獻丑了。
參考鏈接：百度百科。
我想，這里比較重要的一個性質是：$F(n)=(f*1)(n)$，若$f$為積性函數，則$F(n)$也是積性函數。
證明如下：
設$\gcd (n,p)==1$。
$F(n*p)=\sum_{i|n}\sum_{j|p}f(i*j)=\sum_{i|n}f(i)\sum_{j|p}f(j)=F(n)*F(p)$
證畢。
這個性質在我們反演出一個形如$ans=\sum_{i=1}^{n}g(i)\sum_{d|i}f(d)$的式子時，若$f$為積性函數，則我們可以將這個式子時間復雜度優化到至少$O(n)$。
例如：
$$F(n)=\sum_{i|n}\mu(i)*i*n$$
4.一些小證明：
身邊大佬們總是在思考一些小證明，所以我也補補emmmm
順便發一下網上的LaTeX(博客園真的是……)
(1)
，就是綠皮上辣個智障式子。換一下形式其實就是$\phi=(\mu*1)$。證明如下：
(2)
。emmmmm雖然很弱，還是證一下吧：
emmmm，然后當且僅當$\frac{n}{t}==1$時，后面的$\sum_{d|\frac{n}{t}}\mu(d)$為1，否則為0。證畢。
話說其實（1）里面那個式子由mobius反演就能證明emmmmmm
5.一些奇奇怪怪篩法
1）最小質因數篩法：
我們在篩某個函數$F$的時候，往往其並不是一個正常的積性函數，假設當前枚舉數字為$i$，所用質數為$p$，我們一般會進行關於i與p的關系進行分類討論，並且會用到$i$將$p$除盡的后得到的$j$，若一直除的話篩法就不再是線性，為了保證線性，我們就要用到最小質因數。
假設$prime$為$i$的最小質因數，顯然在通常的線篩中我們知道若枚舉的質數$p$滿足$p<prime$則會枚舉下一個質數，否則$break$，那么我們利用這一點，假設我們已經得到了$i$的最小質因數$prime$以及其次方項，當前枚舉質數為$p$，那么對於計算到的$i*p$，當$p<prime$時直接按照$(i，p）==1$的情況討論，同時顯然可以知道$i*p$的最小質因數要跟新為$p$；當$p==prime$時，則按照$(i,p)==p$的情況討論，由於我們已經記錄了$i$的最小質因數$prime$以及其次方，我們可以直接$O(1)$得出其對應的$j$，同時對於$i*p$的最小質因數次數加1。
這樣就維持了$O(n)$的線性篩。例子：BZOJ 3309 DZY love math
2）一類關於質數$p$成多項式的積性數論函數的篩法
6.關於做題
這個我也沒有什么發言權，畢竟我太弱了……但還是想總結一下自己的想法。
反演最重要的是$gcd(i,j)==1$等價為$\sum_{d|t}\mu(d),t=gcd(i,j)$這一式子，在目前所遇到的題目中，關鍵都是如何將題目給出的內容轉化為$gcd$，並且正確的化解，這個我也不怎么會，只能多練習了。
7.總結
個人覺得一些基本證明會不會都不是很重要，畢竟也不可能考為什么$id=(\phi*1)$之類的，明白其過程，對思考有啟發就足以。
8.一些題目：
BZOJ YY的GCD
BZOJ 4176 Lucas的數論 BZOJ 3930 CQOI2015 選數 bzoj2693: jzptab BZOJ 4174 tty的求助
BZOj 3601：一個人的數論