眾所周知，猴子排序打破了排序算法$O(n\log{n})$的桎梏(霧)，具體的話，顯然最好情況一次成功就是$O(n)$，最壞情況那就$O(+\infty)$了。期望是多少呢？讓我來推導一番(逃)。
首先，設序列長度為$n$，每次打亂序列和檢測是否有序為$O(n)$，每次成功的概率為$\frac{1}{n!}$(全排列共$n!$種)，失敗的概率為$1-\frac{1}{n!}$。我們令$X$為排序成功所需的打亂次數，則$P(X=k)=P_{成功}^{1}×P_{失敗}^{k-1}$(乘法原理)。那么猴子排序的期望復雜度就是$O(E(X)*n)$
X分布列如下表所示——
| $X$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\cdots$ | $k$ | $\cdots$ | $+\infty$ |
| $P(X=k)$ | $\frac{1}{n!}$ | $\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{2-1}×\frac{1}{n!}$ | $\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{3-1}×\frac{1}{n!}$ | $\cdots$ | $\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{k-1}×\frac{1}{n!}$ | $\cdots$ | $+\infty$ |
有了分布列就來求X的期望吧——
$$E(X)=1×\frac{1}{n!}+2×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{2-1}×\frac{1}{n!}+3×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{3-1}×\frac{1}{n!}+\cdots+k×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{k-1}×\frac{1}{n!}+\cdots$$
$$=\frac{1}{n!}×\left[1×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{0}+2×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{1}+3×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{2}+\cdots+k×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{k-1}+\cdots\right]$$
$$=\frac{1}{n!}×\sum_{i=1}^{\infty}\left[{i×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{i-1}}\right]$$
嗯……這個級數怎么求和啊？
寫個程序跑一下吧，求和求到二百萬應該夠了，再往上long double的精度也不資磁了……
#include<stdio.h> #include<math.h> int main() { double fac=1;//n! for(int n=1;n<=10;n++) { long double E=0; fac*=n; for(int i=1;i<=2000000;i++) { E+=i*pow((fac-1.0)/fac,i-1); } E/=fac; printf("E(X)=%Lf (n=%d)\n",E,n); } return 0; }
運行結果——
n大於8以后，long double都爆了……忽略它們！(觀眾：你……)
於是我們猜想——$E(X)=n!$。
上網一查，猴子排序復雜度果然是$O(n×n!)$，於是，猜想成立，推導完畢……（博主已被打死）
留坑，等我會求那坨級數求和再來填坑吧（逃）大家別學我
2019年1月21日13:45:56更新
填坑啦！填坑啦！（這學期高數應該不會掛了嘻嘻）
那個$E(X)=\frac{1}{n!}×\sum_{i=1}^{\infty}\left[{i×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{i-1}}\right]$是一個以$n$為自變量的冪級數，對$E(X)$逐項積分可得$$\int {E(X)\,dn}=\frac{1}{n!}×\sum_{i=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n!}\right)^i$$
又
$$\sum_{i=1}^{\infty}k^i=\frac{1}{1-k}-1 (-1<k<1)$$
令$k=1-\frac{1}{n!}$
則$$\int {E(X)\,dn}=\frac{1}{n!}×(n!-1)=1-\frac{1}{n!}$$
兩邊再求導可得……可得啥來着？稍等……再次留坑