二分查找時間復雜度推導

　　二分查找是一個非常常用且簡潔的查找算法，相信很多人也知道它的時間復雜度是logN，但是我看網上的大多數博客給出的所謂推導過程都十分不嚴謹，於是我花了些時間自己寫了推導過程。

首先上二分查找的代碼：

    public int find(int x, int[] data) {
        return find(x, data, 0, data.length - 1);
    }

    /**
     * 查找元素下標，沒找到返回-1
     * @param x 待查找元素
     * @param data 有序的元素數組
     * @createTime：2017年3月4日 
     * @author: gaojiabao
     */
    private int find(int x, int[] data, int low, int high) {
        int mid = (low + high) >> 1;
        if (x == data[mid]) {
            return mid;
        } else if (x > data[mid]) {
            low = mid + 1;
        } else if (x < data[mid]) {
            high = mid - 1;
        }

        if (low == high) {
            if (x == data[low]) {
                return low;
            } else {
                return -1;
            }
        } else {
            return find(x, data, low, high);
        }
    }

下面是推導過程：

假設數據的規模為N(即每次調用時的high-low)，程序執行的比較次數表示為C(N)，假設程序查找的是一個不存在的數據，則此時執行的次數是最多的：

執行第一次時，有：

1代表執行了一次x和data[mid]的比較過程，代表下一次遞歸調用find方法時high-low的值，也就是新的數據規模每次較少一半以上。

遞歸上面的公式，有：

我們知道每一個整數都可以表示為2ⁱ+k的形式，如1=2⁰+0，5=2²+1，10=2³+2，因此

設N=2ⁱ+k

令上面公式的n=i，則有：

因為N=2ⁱ+k，則有i=⌊lgN⌋，因此：

 

 

因為我們一直以來的假設是要查找到的元素是找不到的，所以現在的情況是C(N)最大的情況，對於一般情況，則有：

 

因此二分查找的時間復雜度是logN。