本篇文章的書寫靈感來源於【代碼隨想錄】，自己寫東西純粹只是給自己看，而且我寫的東西估計只有我自己才能看懂，laugh@Hygge。
首先說明一下，在我很長一段時間這樣以為，二分遞歸這一部分的時間復雜度肯定是O（log n)，但是我實在太天真了 :(
以下通過舉例說明說明情況：計算xn的簡單題
最容易想到的O（n）算法代碼直接略過，將x一個一個依次乘起來，這種方法在面試官看來，簡直就是violence。
接下里我們想想還有其他方法嗎？比如，萬能的縮小時間復雜度的遞歸，這樣會有如下的思路
想到：利用二分進行遞歸？哇塞，感覺發現了新大陸，please No talking，show me UR code!
1 function (int x, int n){ 2 if (n == 0): 3 return 1 4 if (n % 2 == 1): # 判奇偶性 5 return function(x, n / 2) * function(x, n / 2) & x 6 else: 7 return function(x, n / 2) * function(x, n / 2) 8 }
寫出這樣的代碼，哇塞，天之驕子啊！但是你確定這樣的遞歸縮短了時間復雜度到O（logn）嗎？
我么來分析一波！！！
在這里，很容易犯的誤區來了，你看這個遞歸樹的深度就是logn，所以說時間復雜度就是logn（感覺理直氣壯）！但是首先我來說明第一個誤區：遞歸樹的深度不是時間復雜度，時間復雜度計算公式應該是「遞歸的次數 * 每次遞歸中的操作次數」，在上圖中，仔細想一想，每一個node會執行一次乘法，但是然后自頂向上，計算乘法的次數是23（第4層遞歸操作次數）+22（第3層遞歸操作次數）+21（第2層遞歸操作次數）+20 （第1層遞歸操作次數）= 24 - 1（順便記住計算n層滿二叉樹的公式，以后面試可能會遇到）。最后：我們發現上面代碼執行的遞歸時間復雜度還是O（n）！所以這個遞歸和violence的時間復雜度還是一樣，而且遞歸反而還要增加一個系統自動維護地遞歸棧，切線程，非常耗時！
在這里，我們根據算法中主定理(T(n) = aT(n /b) + nd)來解釋時間復雜度：T(n)= 2T(n/2) + 1(這個加的1是合起來的一次乘法運算)，根據主定理，a=2,b=2,d=0，a<bd，所以T(n) = nlogba=nlog22=n，綜上所述，T(n) = n （That's way bad!）
言歸正傳，那么遞歸根本沒有進行改進呀呀呀，有其他方法改改進嗎？哈哈哈哈哈，答案是肯定的，霍納法則！霍納法則就是專門解決xn的計算問題滴！
霍納法則的代碼和矩陣快速冪一樣，模板如下：
1 ans = 1 2 function (int x, int n){ 3 while n: 4 if n & 1: 5 ans = y * x 6 x = x * x 7 n = n > 1 #n/2 8 }
這個辦法沒有用到遞歸，但是時間復雜度分析真正實現了O（logn），congrats{✿✿ヽ(°▽°)ノ✿}！！！
好了，寫完了，總結一下：
1.使用遞歸，時間復雜度絕對不總是O(logn)
2.霍納法則求n次方問題