歸並排序時間復雜度推導

眾所周知，歸並排序的時間復雜度是O(N*lgN)

歸並排序的時間復雜度推導書上網上一抓一把，但是多數證明都是基於N=2^k這個假設來證明的，下面我給出一般情況的證明。

先上歸並排序代碼：

public class MergeSort implements Sort {
    private static int count = 0;

    @Override
    public int[] sort(int[] data) {
        return sort(data, 0, data.length - 1);
    }

    private int[] sort(int[] data, int low, int high) {
        if (low == high) {
            return new int[] { data[low] };
        }
        int mid = (low + high) >> 1;
        int[] left = sort(data, low, mid); //(1) int[] right = sort(data, mid + 1, high); //(2) int[] result = new int[high - low + 1];
        int i = 0, k = 0;
        //(3) for (int j = 0; j < result.length; j++) {
            count++;
            if (i == left.length) {
                result[j] = right[k++];
            } else if (k == right.length) {
                result[j] = left[i++];
            } else {
                if (left[i] <= right[k]) {
                    result[j] = left[i++];
                } else {
                    result[j] = right[k++];
                }
            }
        }
        return result;
    }

}

根據代碼可以看出，時間消耗主要在我標紅的3個地方，可以得出：

我們知道每一個整數都可以表示為2ⁱ+k的形式，如1=2⁰+0，5=2²+1，10=2³+2，因此

設N=2ⁱ+k

令n=i+1，則有：

根據我們對i和k的定義，k<2ⁱ（不然如果k>=2ⁱ那么i就應該能取到i+1了）。

因此有：

所以有：

回到開頭的公式：

所以：

據此可以得出歸並排序的時間復雜度是O(N*lgN)。