自然歸並排序算法時間復雜度分析

最近在看一部美劇《breaking bad》，從中領會了不少東西。回頭再看過去寫的博客，感覺真是很糟糕。真正自己的東西極少，大多數內容都是網上一搜一大堆的玩意，那么，這樣的博客寫着有什么意思呢？

從今往后，我的博客一定要寫進自己的思想，就算沒有創新，也一定要有獨立思考求解的過程。

 

這篇對自然歸並排序算法時間復雜度的分析便是第一篇。

 

對於普通歸並排序算法，我就不贅述了。任何一本算法書籍都有介紹，隨便用python寫了一筆：

class Merge():
    def __init__(self):
        self.tmp_arr = [0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]

    def merge(self, arr, start, mid, end):
        for i in range(start, end+1):
            self.tmp_arr[i] = arr[i]
        j = mid + 1
        k = start
        for i in range(start, end+1):
            if k > mid:
                arr[i] = self.tmp_arr[j]
                j += 1
            elif j > end:
                arr[i] = self.tmp_arr[k]
                k += 1
            elif self.tmp_arr[j] < self.tmp_arr[k]:
                arr[i] = self.tmp_arr[j]
                j += 1
            else:
                arr[i] = self.tmp_arr[k]
                k += 1
    def sort(self, arr, start, end):
        if end <= start:
            return 
        mid = start + (end - start) / 2
        self.sort(arr, start, mid)
        self.sort(arr, mid + 1, end)
        self.merge(arr, start, mid ,end)
        
mobj = Merge()
arr = [5,3,4,7,1,9,0,4,2,6,8]
mobj.sort(arr, 0, len(arr)-1)
for i in range(len(arr)):
    print arr[i]

其時間復雜度為O(nlogn)，歸並排序的比較是分層次來歸並的（第一次是兩兩歸並，之后再在第一次歸並的基礎上兩兩歸並，每一層歸並的次數為上一層除二，最終形成一二叉樹，該二叉樹的高即為歸並次數logn。而每一層的比較次數恆等於n，所以時間復雜度求得nlogn）。

自然歸並排序算法是在歸並排序算法基礎上的改進，首先將數列中，已經有序的數分為小組，再在這些小組的基礎上歸並。

例如 5,3,4,7,1,9,0,4,2,6,8

則可首先得到{5},{3},{4,7},{1,9},{0,4},{2,6,8}

第一次歸並得到{3,5},{1,4,7,9},{0,2,4,6,8}

第二次歸並得到{1,3,4,5,7,9},{0,2,4,6,8}

可以看出，原理同樣是二路歸並，只不過最開始現將有序的部分划分了下。所以那一次‘划分了’多少個組，將決定以后的歸並是否更順利（樹的層數更少）

 

普通歸並排序的情況，第一次歸並得到的組數為g = N/2

自然歸並排序的情況，設第一次歸並得到的組數為g，因為，一個數為一組的概率為1/2，兩個數為一組的概率為1/4,n個數為一組的概率為2的n次方分之一。則可求得等式：

 

繼續推導：

可知，在隨機情況下，自然歸並排序分的組數是與普通歸並排序 無限趨近相等的。

 

結論：在分組數相等的基礎上，繼續進行二路歸並，之后的‘二叉樹’的高度便是一樣的。所以時間復雜度同樣為O(nlogn)。

         然而，若已知待排序數列相對有序的情況，則自然歸並排序算法是優於普通歸並排序算法的。