在中學或大學時代，我們應該在數學中都學過橢圓方程、雙曲線方程等等，當然那個時候學習這些知識的目的就是為了考試，為了能夠拿個好成績，上個好大學等。那么除此之外，這些知識對於我們今后的生活或者工作又帶來什么便利呢？
巧合的是作為程序員，尤其是偏向算法方面的人員，經常會有這種需求，例如實現一個物體做橢圓運動的效果，或者做一個圓形軌跡的效果，亦或者做一個看似毫無規律的曲線運動，那么這就用到了橢圓方程、圓形方程及貝塞爾曲線方程等等。
在此着重介紹下橢圓方程的應用。
一、 標准橢圓方程公式：
二、 中心點在 ( h , k )，主軸平行於x軸時公式：
三、 常見的名詞概念及橢圓形狀：
圖1 圖2
- 長軸：通過連接橢圓上的兩個點所能獲得的最長線段，對應圖2中的major axis。
- 半長軸：長軸的一半，對應橢圓公式中的a。
- 短軸：垂直平分長軸的直線所得弦， 對應圖2中的minor axis。
- 半短軸：短軸的一半，對應橢圓公式中的b。
- 焦點：每個橢圓均有兩個焦點，分別上上圖中的F1 , F2。
- 近拱點：指定一個焦點F1 , 距離焦點F1最近點成為近拱點，也就是圖中的A。
- 遠拱點：相對於F1焦點而言，距離F1最遠點成為遠拱點，也就是圖中的B。
- 離心率：用來描述軌道的形狀，橢圓的離心率大小區間(0, 1) ,當離心率為0時表示圓。
四、 離心率的計算公式：
- 根據近拱點和遠拱點距離計算：
其中dp表示近拱點的距離，da表示遠拱點的距離。
- 根據半焦距和半長軸計算：
其中c表示半焦距，a表示半長軸。
- 根據半長軸和半短軸計算：
其中，a表示半長軸，b表示半短軸。
五、 已知橢圓其中一個焦點、近拱點、離心率以及表示橢圓在三維空間的傾向法向量，可以得到此橢圓的公式。
1. 根據焦點和近拱點，得到近拱點到焦點的距離dp。
2. 根據離心率、近拱點距離可以得到遠拱點到焦點的距離da。
3. 根據近拱點、焦點以及遠拱點距離，可以得到遠拱點的坐標值。
4. 根據近拱點、遠拱點即可得到橢圓的中心點坐標center。
5. 根據公式：半短軸 = 近拱點距離 * 遠拱點距離，即可得到半長軸b的長度。
6. 根據代表橢圓傾向的法向量n和長軸方向的單位向量，兩者叉乘即可得到短軸方向上的單位向量，並且根據半短軸的長度，即可得到半短軸向量。
7. 已知半短軸向量、半長軸向量，根據橢圓的參數方程，即可得到橢圓上任一點的坐標值。
具體代碼如下：
1 //mDirection代表點在橢圓上的運動方向是逆時針還是順時針，angle用於計算橢圓參數方程的角度 2 double angle = (mDirection == OrbitDirection.CLOCKWISE ? -1 : 1) * mAngle * time * MathUtil.PRE_PI_DIV_180; 3 4 //計算近拱點到焦點的距離 5 double periapsisRadius = mPeriapsis.distanceTo(mFocalPoint); 6 //根據離心率、近拱點到焦點的距離、遠拱點到焦點三者的公式即可得到遠拱點距離(近拱點到遠拱點的距離是橢圓的長軸) 7 double apoapsisRadius = periapsisRadius * (1 + mEccentricity) / (1 - mEccentricity); 8 9 // 計算近拱點到焦點的單位向量，注意此處乘以1e8 和除以1e8的目的是 去掉第8個小數點后最不重要的數字，以降低計算誤差。 10 double uAx = (Math.round(mFocalPoint.x * 1e8) - Math.round(mPeriapsis.x * 1e8)) / 1e8; 11 double uAy = (Math.round(mFocalPoint.y * 1e8) - Math.round(mPeriapsis.y * 1e8)) / 1e8; 12 double uAz = (Math.round(mFocalPoint.z * 1e8) - Math.round(mPeriapsis.z * 1e8)) / 1e8; 13 double mod = Math.sqrt(uAx * uAx + uAy * uAy + uAz * uAz);//計算近拱點到焦點的距離 14 if (mod != 0 && mod != 1) {//單位化 15 mod = 1 / mod; 16 uAx *= mod; 17 uAy *= mod; 18 uAz *= mod; 19 } 20 21 double apoapsisDir_x = Math.round(uAx * apoapsisRadius * 1e8) / 1e8; 22 double apoapsisDir_y = Math.round(uAy * apoapsisRadius * 1e8) / 1e8; 23 double apoapsisDir_z = Math.round(uAz * apoapsisRadius * 1e8) / 1e8; 24 //計算遠拱點坐標 25 double apoapsisPos_x = Math.round((apoapsisDir_x + mFocalPoint.x) * 1e8) / 1e8; 26 double apoapsisPos_y = Math.round((apoapsisDir_y + mFocalPoint.y) * 1e8) / 1e8; 27 double apoapsisPos_z = Math.round((apoapsisDir_z + mFocalPoint.z) * 1e8) / 1e8; 28 29 //近拱點和遠拱點的中心即橢圓的中心 30 double center_x = Math.round(((mPeriapsis.x + apoapsisPos_x) / 2) * 1e8) / 1e8; 31 double center_y = Math.round(((mPeriapsis.y + apoapsisPos_y) / 2) * 1e8) / 1e8; 32 double center_z = Math.round(((mPeriapsis.z + apoapsisPos_z) / 2) * 1e8) / 1e8; 33 34 //計算半短軸的長度 35 double b = Math.sqrt(periapsisRadius * apoapsisRadius); 36 37 //從中心點到近拱點的向量 38 double semimajorAxis_x = Math.round((mPeriapsis.x - center_x) * 1e8) / 1e8; 39 double semimajorAxis_y = Math.round((mPeriapsis.y - center_y) * 1e8) / 1e8; 40 double semimajorAxis_z = Math.round((mPeriapsis.z - center_z) * 1e8) / 1e8; 41 42 //單位化半長軸向量 43 double unitSemiMajorAxis_x = semimajorAxis_x; 44 double unitSemiMajorAxis_y = semimajorAxis_y; 45 double unitSemiMajorAxis_z = semimajorAxis_z; 46 mod = Math.sqrt(semimajorAxis_x * semimajorAxis_x + semimajorAxis_y * semimajorAxis_y + semimajorAxis_z 47 * semimajorAxis_z); 48 if (mod != 0 && mod != 1) { 49 mod = 1 / mod; 50 unitSemiMajorAxis_x *= mod; 51 unitSemiMajorAxis_y *= mod; 52 unitSemiMajorAxis_z *= mod; 53 } 54 55 //將中心點沿法向量方向平移 56 Vector3 unitNormal = mNormal.clone(); 57 unitNormal.normalize(); 58 double uNx = Math.round(unitNormal.x * 1e8) / 1e8; 59 double uNy = Math.round(unitNormal.y * 1e8) / 1e8; 60 double uNz = Math.round(unitNormal.z * 1e8) / 1e8; 61 double normalCenter_x = center_x + uNx; 62 double normalCenter_y = center_y + uNy; 63 double normalCenter_z = center_z + uNz; 64 mod = Math.sqrt(normalCenter_x * normalCenter_x + normalCenter_y * normalCenter_y + normalCenter_z 65 * normalCenter_z); 66 if (mod != 0 && mod != 1) { 67 mod = 1 / mod; 68 normalCenter_x *= mod; 69 normalCenter_y *= mod; 70 normalCenter_z *= mod; 71 } 72 73 mScratch1.setAll(unitSemiMajorAxis_x, unitSemiMajorAxis_y, unitSemiMajorAxis_z); 74 mScratch2.setAll(normalCenter_x, normalCenter_y, normalCenter_z); 75 //叉乘計算半短軸的單位向量 76 Vector3 semiminorAxis = mScratch3.crossAndSet(mScratch1, mScratch2); 77 //得到半短軸向量 78 semiminorAxis.multiply(b); 79 80 //3D空間橢圓的參數方程 81 double x = center_x + (Math.cos(angle) * semimajorAxis_x) + (Math.sin(angle) * semiminorAxis.x); 82 double y = center_y + (Math.cos(angle) * semimajorAxis_y) + (Math.sin(angle) * semiminorAxis.y); 83 double z = center_z + (Math.cos(angle) * semimajorAxis_z) + (Math.sin(angle) * semiminorAxis.z);