定義
\[o(t)=C_1*o(t-1)+c_2*o(t-2)+...+c_f(t-f) \tag{1} \]
事件t的位置點和之前f個位置點具有線性組合的關系，f成為回顧系數。
定義
\[s_0(t) = \{o(t),o(t-1),...,o(t-f+1)\} \tag{2} \]
因此
\[s_0(t)=K_0*s_0(t-1) \tag{3} \]
K_0是維度為\((d*f)*(d*f)\)維度的矩陣。d是數據點的維度，對於二維路徑點d = 2。
對於d=2,f=2,寫出式(3)的展開形式：
\[\left[ \begin{matrix} o(t).x_1 \\ o(t).x_2 \\ o(t-1).x_1 \\ o(t-1).x_2 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} k_{11} & k_{12} & k_{13} & k_{14} \\ k_{21} & k_{22} & k_{23} & k_{24} \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right] * \left[ \begin{matrix} o(t-1).x_1 \\ o(t-1).x_2 \\ o(t-2).x_1 \\ o(t-2).x_2 \end{matrix} \right] \]
我們可以進一步認識到，對於\(K_0\)矩陣只有前面d行是未知，未知數個數為\(d*(d*f)\)。
對於其余行的每個元素，滿足：
\[\begin{cases} k_{ij} = 0 \space \text{for i>=d+1 and i!=j+d} \\ \tag{4} k_{ij} = 1 \space \text{for i>=d+1 and i=j+d} \end{cases} \]
抽取式(3)的\(K_0\)矩陣的前d行的某一行的乘法過程，可以寫出
\[s_0(t-1)^T*K_{i*} = o(t).x_i \tag{5} \]
其中\(d>=i>=1\),\(K_{i*}\)是K矩陣的第i行向量。
我們需要得到能夠最好的描述歷史數據的\(K_0\)矩陣，並以此預測將來的路徑。
參數估計
設l_0(t)是實際的路徑點數據。\(\{l_o(T_c-h+1),l_0(T_c-h+2),...,l_0(T_c)\}\)是距離當前時刻最近的h個路點數據。
h需要大於f。
根據式(5)我們可以寫出：
\[\left[ \begin{matrix} s(T_c-1)^T \\ s(T_c-2)^T \\ ... \\ s(T_c-h+f)^T \end{matrix} \right] * k_{i*} = \left[ \begin{matrix} l(T_c).x_i \\ l(T_c-1).x_i \\ ... \\ l(T_c-h+f+1).x_i \end{matrix} \right] \tag{6} \]
令
\[S = \left[ \begin{matrix} s(T_c-1)^T \\ s(T_c-2)^T \\ ... \\ s(T_c-h+f)^T \end{matrix} \right] \space l = \left[ \begin{matrix} l(T_c).x_i \\ l(T_c-1).x_i \\ ... \\ l(T_c-h+f+1).x_i \end{matrix} \right] \]
式6可以簡寫為\(S*k_{i*}=l\)
接下來的任務是求解行向量\(k_{i*}\)，求解從1到d行的每個行向量可以得到完整的K矩陣。
論文中簡單介紹來了將S進行奇異值分解的求解方法。
式(6)中共有h-f個方程，而行向量\(k_{i*}\)中共有d*f個未知數，todo...