二進制GCD算法解析

UPD 2018.3.30 這個好像就是更相減損術的樣子emmm

UPD 2018.5.22 好像不是更相減損術而是叫Stein算法的樣子emmm

 

蒟蒻來做個二進制GCD筆記。

為什么要寫這個東西呢，因為按照ysy神犇在這次luogu夏令營的說法，常數會小很多。

我再查了一下（ysy神犇沒說實現啊orz），這玩意的原理說起來大概是這樣的：

因為普通的輾轉相除法求gcd需要用到取模，所以常數比較慢。

我們使用另一種算法：

求gcd(a,b)。有三種情況：

　　1.a,b為偶數，則gcd(a,b)=2*gcd(a/2,b/2)

　　2.a為奇數，b為偶數，則gcd(a,b)=gcd(a,b/2)

　　3.a,b為奇數。假設a>=b，則gcd(a,b)=gcd((a-b)/2,b)

　　4.a為0，則返回b

然后以上的除法和判奇偶性可以使用位運算處理。

取較大值可以使用內聯函數降低常數。

然后....emmm

下面是兩種算法的執行時間。原題：BZOJ 入門P1234

 

可能是范圍開的不夠大？（一臉懵逼）

然后我自己測了一組比較大的數據。

9223372036854775800 529215046068469760

每個程序運行5次，忽略誤差較大的運行，取平均值，得到的數據如下：

普通gcd算法：13.576ms

二進制gcd算法：13.044ms

總之...emm，掌握還是很簡單的。

至於什么時候用...各位見仁見智吧。

代碼如下：

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll abs(ll x){
    return x<0?-x:x;
}
inline ll min(ll a,ll b){
    return a<b?a:b;
}
inline ll gcd(ll a,ll b){
    if(a==0)return b;
    if(b==0)return a;
    if(!(a&1)&&!(b&1))return 2*gcd(a>>1,b>>1);
    else if(!(a&1))return gcd(a>>1,b);
    else if(!(b&1))return gcd(a,b>>1);
    else return gcd(abs(a-b),min(a,b));
}
 
int main(){
    ll a,b;
    cin>>a>>b;
    cout<<"gcd="<<gcd(a,b);
    return 0;
}