1 分數階微分理論
分數階微分幾乎和整數階微分同時誕生，但由於一直沒有常見的物理現象能夠解釋這一數學表達式的含義，所以其也未被廣泛運用。幾個世紀以來，雖然分數階微分理論得到了長足的發展，但至今沒有統一的定義。目前Riemann-Liouville(R-L)定義、Grümwald-Letnikov(G-L) 定義、Caputo定義是比較經典的分數階微分定義。下面將對這三種定義進行討論。
1.1 Gamma函數
Gamma 函數是用積分形式定義的超越函數，Gamma函數的性質已經在數學領域中被深入研究，而且其在分數階微積分中有着至關重要的作用。
Gamma函數的定義如下：
其中，x可以為復數，當其為復數時，應滿足。
另一種Gamma函數的極限形式推導如下：
得出：
可以取,此時Gamma函數的曲線圖，如下圖所示。
Gamma函數
Gamma函數的性質有：
（1）采用分部積分的數學方式，表示出以下遞歸性質:
於是有當x為正整數時:
（2）一般二項式系數可以被表現為：
其中k為非負整數。
1.2 格林瓦德-列特尼科夫(G-L)定義
Grumwald-Letnikov分數階微分定義是通過高階微分推廣得到，對於可微函數的一階微分定義如下：
的二階微分：
以此類推，得到的n階微分：
上式表示的任意整數階n的微分表達式，將其推廣到任意階，包含分數階，其中實數，由此得到：
代入Gamma函數得：
上式即為在G-L定義下，的階微分公式。其中符合D表示此式為分數階微積分，GL表示該分數階微分采用Grumwald-Letnikov(G-L)定義，h表示積分時間步長。當時，上式即為分數階積分。
G-L定義滿足以下性質：
（1）線性可加性：
（2）結合性：
1.3 黎曼-劉維爾(RL)定義
Riemann-Liouville定義是G-L定義的改進，的階R-L積分公式定義如下：
如果要求R-L定義下的階微分公式，可以先求階積分再求整數階n的微分，得到：
其中， 。
R-L定義滿足以下性質：
(1)對於任意常數C滿足：
(2)線性可加性：
1.4 Caputo定義
Caputo定義的階分數階微分定義如下：
Caputo定義與Riemann-Liouville定義不同之處是通過先求整數階微分后求分數階積分推導出來的。
分數階微分Riemann-Liouville(R-L)定義、Grümwald-Letnikov(G-L) 定義、Caputo定義是從不同的方向推導出的分數階微積分定義，三者的定義形式不同，但是在一定的條件下，三者之間可以相互轉換。
2 經典的邊緣檢測算法
2.1 引言
圖像邊緣的灰度存在較大變化，因此求取圖像各個方向上的梯度，而梯度值可以反映灰度變化的劇烈程度，由此可以判斷圖像的邊緣區域，目前的邊緣檢測方面基本上都是基於這一種方案。經過幾十年的發展，比較經典的邊緣檢測與提取的算子有Roberts算子、Sobel算子、Prewitt算子、LOG算子和Canny方法等。
邊緣檢測的一般流程為：
（1）濾波：一般先對原始圖像進行預處理，即對圖像進行濾波等去噪處理，降低后續處理中噪聲的干擾，但這樣也會導致邊緣檢測結果的模糊。
（2）計算梯度：將邊緣檢測算子和圖像進行卷積運算，以此求取圖像的梯度幅值圖或圖像梯度方向圖。
（3）檢測：使用閾值對邊緣進行檢測。
（4）定位：確定邊緣的位置。
2.2 Roberts算子
Roberts算子是的模板，如下圖所示，通過求取相鄰對角元素之差來確定該區域的梯度。
圖Roberts算子
用邊緣檢測算子，和整個圖像進行卷積運算，左上角的位置為當前位置（x,y），由此求得x和y方向的偏導數：
故點(x,y)處的梯度強度為：
再通過設定的閾值，對這些邊緣點進行判定。Roberts算子采用的模板，因此沒有准確的中心點，而且對噪聲很敏感，因此目前較少使用。
2.3 Prewitt算子
Prewitt算子是采用兩個垂直方向上的的模板，如下圖所示，在相鄰的八個點內進行梯度計算，相較於Roberts算子，Prewitt則有了明確的中心點，對於邊緣定位會更加准確。
圖Prewitt算子
設算子的中心點為，Prewitt算子則是在其的領域內計算它x和y方向上的偏導數。
故點處的梯度幅值為：
再通過設定的閾值，對這些邊緣點進行判定。
2.4 Sobel算子
與Prewitt算子相似，但將模板中心系數設定為2，如下圖所示。相較於Prewitt算子，權值的改變可以更好提取圖像邊緣。
圖Sobel算子
該算子的中心點為(x,y)，在其3x3的領域內計算它x和y方向上的偏導數。
故點（x,y）處的梯度幅值為：
再通過設定的閾值，對這些邊緣點進行判定。
2.5 LoG算子
LoG(Laplacian of Gaussian)邊緣檢測算子是Marr和Hildreth在1980年提出。LoG 算子源於D.Marr計算視覺理論中提出的邊緣提取思想，LoG方法首先通過高斯濾波函數對圖像進行平滑以抑制噪聲的影響，但抑制噪聲程度越大，圖像邊緣模糊則越嚴重。
二維高斯濾波函數：
然后用Laplacian算子計算圖像梯度：
最后得出的梯度圖像中的零交叉點即為圖像的邊緣點。
上式可以化為：
因此LoG算子即為：
算子中的高斯函數會對圖像進行濾波處理，平滑圖像，從而抑制噪聲干擾。而且Laplacian的各向同性使其具有旋轉不變性，對模板任何方向上都具有相等的響應，該特性更加符合人的視覺系統。
2.6 Canny算子
Canny認為一種好的邊緣檢測與提取算法應當可以抑制噪聲干擾還能夠精准定位實際中的邊緣。Canny方法提出了三個基本目標：
（1）低錯誤率。所有的實際邊緣都應該可以檢測出，並且檢測到的邊緣應該盡可能是真實的邊緣，沒有偽響應。
（2）邊緣點被很好地定位。由檢測器找出的邊緣點應該和真實邊緣的中心之間的距離最小。
（3）單一的邊緣點響應。在實際邊緣點處，檢測器所檢測出邊緣結果應僅返回一個點。
其具體的實現過程如下：
（1）對原始圖像進行高斯濾波處理，抑制噪聲，得到圖像。具體過程如下：
其中為標准差。
(2)分別計算平滑圖像的梯度幅度和方向：
其中,是圖像在方向上的梯度。
(3)對梯度幅度圖像按照梯度方向進行非極大值抑制處理。
首先將角度圖像按就近原則划分成四個方向：水平、、垂直、。如下圖所示。
圖角度划分圖
接着對3x3領域內的四個基本方向進行非極大值抑制，若中心點在沿其方向上領域的梯度幅值最大，則保留該點，否則，抑制該點。
（4）使用雙閾值檢測並連接邊緣。選取兩個閾值，分別為高閾值和低閾值。將幅值高於高閾值的點直接設為邊緣點置一，低於低閾值的點設置零，這樣便可以直接確定較明顯的邊緣點。將幅值低於高閾值但高於低閾值的點使用八連通區域確定這些弱邊緣點。
Canny算子是目前公認的較優秀的算子，其檢測的邊緣不僅具有方向性，而且其檢測邊緣的性能也較為理想。
3 分數階微分的檢測能力分析
對於能量信號,若存在整數k（）階微分,則有：
對上式進行傅里葉變換得：
其中為k階微分乘子函數。的指數形式為：
將上式的整數k階微分推廣到任意分數v階微分,由此得分數階微分的頻域形式：
其中為v階微分乘子函數。其指數形式為：
根據式（2.31），代入k=1和k=2時，畫出1階、2階微分的幅頻特性。代入時分數階微分的幅頻特性曲線，如下圖所示。
圖 信號微分幅頻特性曲線
從上圖中可以看出，微分運算對於高頻信號都有提高的作用，且隨着頻率和階次的增加呈現非線性的增長。圖中微分運算對低頻信號有削弱作用，但整數階微分對低頻信號抑制作用更強。對於階數的微分而言，高頻成分的提升作用小於整數階微分，中頻信號也有一定的增強作用，而且對於低頻信號的削弱作用也小於整數階微分，對於低頻信號均呈現了非線性保留。因此相較於整數階微分，分數階微分進行邊緣檢測時，不僅能夠很好提取圖像邊緣信息，而且還能夠對於平滑區域的弱邊緣信息也能夠有很好的保留。由於圖像中的噪聲一般都表現為高頻部分，相比於整數階微分算子，階數為階的微分算子能夠對高頻部分進行一定程度的壓縮，因此分數階微分對於噪聲有一定程度的抑制作用。
4 分數階微分邊緣檢測模板
考慮到分數階微分算子對於邊緣檢測的優勢，這幾年，在相關方面也得到了很大的發展，國內外也提出了很多分數階邊緣檢測模板，以下便討論其中幾種模板。
4.1 CRONE算子
Mathieu在2003年發表的論文《Fractional differentiation for edge detection》中，提出了CRONE算子，首次將分數階微分用到了圖像邊緣檢測領域中。
文中提出CRONE算子認為分數階微分應該考慮到正向和反向的提取結果，即分數階微分運算考慮在變量x增加和減小兩個方向進行。因此兩個方向的微分算子
的表達式推導如下：
在x增加的方向上，的一階導數為
：
在x減小的方向上，的一階導數為
：
其中h為無窮小的正數。此時，引入位移算子q，滿足如下條件：
代入上式得：
由此求得微分算子為：
推廣至任意階可以得：
聯合上式可以推得：
由牛頓二項式展開得:
其中
由於圖像是二維，且可以分為兩個獨立的X和Y軸，因此利用推導出的分數階微分算子構成兩個相互獨立的向量算子，分別對圖像進行卷積運算，模板長度為2m+1。
水平方向模板：
垂直方向模板：
CRONE方法中的階數n范圍是(-1,2),實驗證明當階數越接近於2時，CRONE具有更好的邊緣檢測選擇性，而當算子階數越小時，算子具有更好的抗噪性能，因此選擇一個合適的階數使得CRONE算子不僅擁有較好的邊緣檢測性能，而且還不能對於噪聲十分敏感非常重要。
4.2 優化的CRONE算子
CRONE算子的改進方案有多種，其中許詳微提出基於CRONE算子的S+Z型特征提取方法，將分形幾何的Peano曲線引入到邊緣提取的模板中，分別構造了S型曲線和Z型曲線互補性的3x3微分掩膜，如下圖所示。
圖S型曲線構造模板
圖Z型曲線構造模板
分別將S和Z型模型和原圖像卷積計算，將得出的圖形分別為、，按下式進行融合，從而可以提取到更加細致的特征。
4.3 Tiansi算子
楊柱中等人根據傳統的Grumwald-Letnikov(G-L)分數階微分定義，拓展為二維掩膜，從而推導出了Tiansi算子。將一維信號在信號持續期內按單位長度 進行等分，從而推導出信號分數階微分的差分表達式：
為實現濾波器且誤差不會較大，因此用前三項構造5x5的各向同性濾波器，即分數階微分掩膜。文中考慮到掩膜對八個方向進行邊緣檢測，因此構造出了Tiansi算子。如下圖所示。
圖Tiansi算子
在使用Tiansi算子模板進行圖像邊緣檢測時，考慮到要歸一化算子，因此要先將模板的每一項除以,然后再與圖像相卷積，最后將得到的圖像梯度幅值與原圖像對應灰度值相減，通過閾值判斷，所得結果即為圖像邊緣信息。
4.4 改進Tiansi算子
王衛星[20]針對岩石節理裂隙圖像提出了針對Tiansi算子的改進方法，通過將5x5大小的Tiansi算子分成8個方向的3x3的掩膜，然后用8個掩膜分別與原圖像進行卷積求取該方向上的梯度，得到8個幅值大小的圖像，如下圖所示。
（a） （b）
（c） （d）
（e） （f）
（g） （h）
圖八個方向的Tiansi掩膜算子
隨后提出三種組合方案，利用這八個模板的組合排序，提出了三種增強圖像邊緣幅度的改進方案，結果證明相較於Tiansi算子有了更強的邊緣細節提取能力，且沒有出現太多的噪聲信息。
4.5 多方向分數階模板
許詳微[40]從CRONE算子中，構造了八個方向的掩膜，使其算子具有抗旋轉性。分別從、、、、、、以及八個方向提出CRONE掩膜算子，以此和圖像進行卷積后融合為圖像邊緣信息，如下圖所示。
(a) 水平方向CRONE模板 （b）旋轉CRONE模板
圖多方向CRONE模板
除此之外，蒲亦非是從Grumwald-Letnikov(G-L)定義中提出了八個方向掩膜算子。在傳統分數階微分模板中，考慮到像素間的最小距離為1，因此采用最小步長h=1，這種方法存在以下缺點：(a)沒有充分利用數字圖像的高度自相關特性，使得結果出現偏差；(b)圖像中未處理的噪聲點會在圖像卷積過程中被判斷為邊緣點，因此對提取結果造成較大誤差。而使用插值方法的非整數步長的掩膜能夠克服以上的不足。王斌[41]和陳青[42]分別在文獻中提出了不同的多方向非整數階邊緣檢測模板。
4.6 FD模板
何春等人[21]在推導CRONE算子的方法上提出了復合微分導數的推導方法，並且以此建立了新的FD微分模板。即：
其中，h為微分步長, 
為CRONE算子的系數。由於n為分數，上式是一個復數算子。再使用推導出的分數階微分算子構成兩個相互獨立的向量掩膜和，分別對圖像進行卷積運算，模板長度為2m+1。
水平方向模板：
垂直方向模板：
將卷積后兩個方向的梯度圖像按平方和方式，進行圖像融合。
除了上述討論的幾種分數階邊緣檢測方法外，最近幾年這一領域也有很大的發展，程金梅[43]也提出了一種復合導數的邊緣檢測方法，蔣偉[44]和張佳梅[23]分別將分數階微分的G-L定義引入到Sobel、Canny方法中，也取得了很好的效果。盡管有了不錯的進展，但目前在圖像領域中分數階微積分的運用仍然處於起步階段，未來還有更大的發展潛力。