16 級高代 II 思考題十 設 $V$ 是數域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 維線性空間, $\varphi$ 是 $V$ 上的線性變換, 證明: $\varphi$ 的極小多項式 $m(\lambda)$ 在 $\mathbb{K}$ 上無重因式的充要條件是對 $V$ 的任一 $\varphi$-不變子空間 $U$, 均存在 $\varphi$-不變子空間 $W$, 使得 $V=U\oplus W$.
本題是復旦高代教材復習題七的第 24 題或高代白皮書的例 7.15 從復數域 $\mathbb{C}$ 到一般數域 $\mathbb{K}$ 上的推廣. 我們經常會遇到這樣一類問題, 如果基域是復數域, 那么這個問題很容易通過復可對角化理論或 Jordan 標准型理論得到解決, 但若基域是一般的數域, 處理起來則會變得難的多. 遇到這種情形, 通常我們有四種方法可以考慮. 一是直接利用線性變換理論 (涉及到不變子空間, 還可以利用循環子空間理論, 參考教學論文 [1,2]); 二是利用一般數域上基於初等因子的相似標准型理論 (屬於超綱內容, 參考高代白皮書的第 7.2.11 節); 三是利用高等代數中某些概念在基域擴張下的不變性, 將一般數域上的問題提升到復數域上來討論 (參考教學論文 [3]); 四是先在特征多項式的分裂域上進行討論, 然后利用 Galois 理論把結論下降到原來的基域上 (需要抽象代數學和 Galois 理論作為基礎, 參考教學論文 [4]). 值得一提的是, 16 級高代 II 思考題九的七種解法就是這前三種方法的體現. 在本博文中, 我們將給出 16 級高代 II 思考題十的多種證法, 它們也集中反映了前三種方法的威力. 當然第四種方法也可以做, 請大家在學過 Galois 理論之后, 再思考如何給出證明.
充分性的五種證明
引理 1 稱充分性的條件為 $V$ 滿足性質 P, 則 $V$ 的任一 $\varphi$-不變子空間 $U$ 也滿足性質 P.
證明 任取 $U$ 的 $\varphi$-不變子空間 $U_1$, 則 $U_1$ 也是 $V$ 的 $\varphi$-不變子空間, 因此存在 $\varphi$-不變子空間 $W$, 使得 $V=U_1\oplus W$. 令 $W_1=U\cap W$, 由於 $U_1\subseteq U$, 故 $$U=U\cap V=U\cap (U_1+W)=U_1+U\cap W=U_1+W_1=U_1\oplus W_1.\quad\Box$$
證法一 (由何陶然同學提供) 對維數 $n$ 進行歸納, 當 $n=1$ 時結論顯然成立. 假設當 $\dim V<n$ 時, 結論成立, 現證明 $\dim V=n$ 的情形. 若 $m(\lambda)$ 是 $\mathbb{K}$ 上的不可約多項式, 則結論已然成立. 現設 $m(\lambda)=g(\lambda)h(\lambda)$ 是 $\mathbb{K}$ 上的因式分解, 其中 $\deg g(\lambda)<\deg m(\lambda)$, $\deg h(\lambda)<\deg m(\lambda)$. 設 $U=\mathrm{Ker\,}g(\varphi)$, 則 $U$ 是 $\varphi$-不變子空間, 滿足 $U\neq V$, 否則 $\varphi$ 將適合多項式 $g(\lambda)$, 這與 $m(\lambda)$ 是極小多項式矛盾; 也滿足 $U\neq 0$, 否則 $g(\varphi)$ 是同構, $\varphi$ 將適合多項式 $h(\lambda)$, 這與 $m(\lambda)$ 是極小多項式矛盾. 由於 $V$ 滿足性質 P, 故存在 $\varphi$-不變子空間 $W$, 使得 $V=U\oplus W$, 其中 $\dim U<n$, $\dim W<n$. 由引理 1 可知, $U,W$ 都滿足性質 P, 故由歸納假設可知, $\varphi|_U,\varphi|_W$ 的極小多項式 $m_U(\lambda),m_W(\lambda)$ 都無重因式, 從而 $m(\lambda)=[m_U(\lambda),m_W(\lambda)]$ 也無重因式. $\Box$
證法二 (由楊釗傑同學提供) 用反證法, 若 $m(\lambda)$ 有重因式, 不妨設 $m(\lambda)=P(\lambda)^rg(\lambda)$, 其中 $P(\lambda)$ 是 $\mathbb{K}$ 上的首一不可約多項式, $r\geq 2$, $(P(\lambda),g(\lambda))=1$. 令 $U=\mathrm{Ker\,}P(\varphi)$, 則 $U$ 是 $\varphi$-不變子空間, 並且類似於證法一的討論可知 $U$ 是非平凡子空間. 注意到 $\varphi|_U$ 適合多項式 $P(\lambda)$, 於是其極小多項式 $m_U(\lambda)\mid P(\lambda)$, 從而只能是 $m_U(\lambda)=P(\lambda)$. 由假設存在 $\varphi$-不變子空間 $W$, 使得 $V=U\oplus W$, 則 $W$ 也是非平凡子空間. 記 $\varphi|_W$ 的極小多項式為 $m_W(\lambda)$, 則 $m(\lambda)=[m_U(\lambda),m_W(\lambda)]$. 注意到 $m_U(\lambda)=P(\lambda)$ 並且 $r\geq 2$, 從而只能是 $m_W(\lambda)=m(\lambda)=P(\lambda)^rg(\lambda)$. 任取 $\alpha\in W$, 則 $P(\varphi)^rg(\varphi)(\alpha)=0$, 於是 $P(\varphi)^{r-1}g(\varphi)(\alpha)\in\mathrm{Ker\,}P(\varphi)=U$, 又 $P(\varphi)^{r-1}g(\varphi)(\alpha)\in W$, 從而 $P(\varphi)^{r-1}g(\varphi)(\alpha)=0$ 對任意的 $\alpha\in W$ 成立. 換言之, $\varphi|_W$ 適合多項式 $P(\lambda)^{r-1}g(\lambda)$, 這與 $m_W(\lambda)=P(\lambda)^rg(\lambda)$ 相矛盾. $\Box$
證法三 (由章俊鑫同學提供) 設 $m(\lambda)=P_1(\lambda)^{r_1}P_2(\lambda)^{r_2}\cdots P_k(\lambda)^{r_k}$, 其中 $P_i(\lambda)$ 是 $\mathbb{K}$ 上互異的首一不可約多項式, $r_i\geq 1$, $k\geq 1$. 用反證法, 若 $m(\lambda)$ 有重因式, 不妨設 $r_1\geq 2$. 令 $U=\mathrm{Ker\,}P_1(\varphi)^{r_1-1}P_2(\varphi)^{r_2}\cdots P_k(\varphi)^{r_k}$, 則 $U$ 是 $\varphi$-不變子空間, 並且類似於證法一的討論可知 $U$ 是非平凡子空間. 由假設存在 $\varphi$-不變子空間 $W$, 使得 $V=U\oplus W$, 則 $W$ 也是非平凡子空間. 任取 $0\neq\alpha\in W$, 則由 $m(\varphi)(\alpha)=0$ 可知 $P_1(\varphi)(\alpha)\in U$, 又 $P_1(\varphi)(\alpha)\in W$, 從而 $P_1(\varphi)(\alpha)=0$. 因此 $\alpha\in\mathrm{Ker\,}P_1(\varphi)\subseteq U$, 又 $\alpha\in W$, 於是 $\alpha=0$, 矛盾. $\Box$
下面兩種證法是利用數域 $\mathbb{K}$ 上基於初等因子的兩類廣義 Jordan 標准型來做的, 其中證法五利用了第二類廣義 Jordan 塊的不可再分性 (通常 Jordan 塊的不可再分性請參考博文《Jordan 塊的幾何》).
證法四 (由朱民哲同學提供) 用反證法, 若 $m(\lambda)$ 有重因式, 那么 $\varphi$ 至少有一個初等因子形如 $P(\lambda)^r$, 其中 $P(\lambda)$ 是數域 $\mathbb{K}$ 上的 $d$ 次不可約多項式, $r\geq 2$. 由引理 1 可知, $V$ 的任一 $\varphi$-不變子空間都滿足性質 $P$, 因此為了方便敘述, 我們不妨設 $V$ 就是初等因子 $P(\lambda)^r$ 的第一類廣義 Jordan 塊對應的子空間, 或者等價的, $\varphi$ 只有一個初等因子 $P(\lambda)^r$. 於是存在 $V$ 的一組基 $\{e_{1,1},e_{1,2},\cdots,e_{1,d};\cdots;e_{r,1},e_{r,2},\cdots,e_{r,d}\}$, 使得 $\varphi$ 在這組基下的表示矩陣為第一類廣義 Jordan 塊 $$J=J_r(P(\lambda))=\begin{pmatrix} F(P(\lambda)) & I & & & \\ & F(P(\lambda)) & I & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & \ddots & I \\ & & & & F(P(\lambda)) \end{pmatrix},$$ 其中 $F=F(P(\lambda))$ 是對應於 $P(\lambda)$ 的有理塊, $I$ 是單位陣. 令 $U=L(e_{1,1},e_{1,2},\cdots,e_{1,d};\cdots;e_{r-1,1},e_{r-1,2},\cdots,e_{r-1,d})$, 容易驗證 $U$ 是 $\varphi$-不變子空間, 於是存在 $\varphi$-不變子空間 $W$, 使得 $V=U\oplus W$. 任取 $0\neq\alpha\in W$, 設 $\alpha=\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^dc_{i,j}e_{i,j}$, 則 $c_{r,1},c_{r,2},\cdots,c_{r,d}$ 不全為零. 設 $x=(c_{1,1},c_{1,2},\cdots,c_{1,d};\cdots;c_{r,1},c_{r,2},\cdots,c_{r,d})'$ 為 $\alpha$ 對應的坐標向量, 則向量 $P(\varphi)(\alpha)$ 對應的坐標向量為 $$P(J)x=\begin{pmatrix} 0 & P'(F) & & & \\ & 0 & P'(F) & & * \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & \ddots & P'(F) \\ & & & & 0 \end{pmatrix}x.$$ 注意到 $(P(\lambda),P'(\lambda))=1$, 故 $P'(F)$ 是非異陣, 由此不難看出 $P(J)x\neq 0$ 並且它的最后 $d$ 個分量全為零. 因此 $0\neq P(\varphi)(\alpha)\in U\cap W$, 矛盾.
證法五 用反證法, 若 $m(\lambda)$ 有重因式, 那么 $\varphi$ 至少有一個初等因子形如 $P(\lambda)^r$, 其中 $P(\lambda)$ 是數域 $\mathbb{K}$ 上的 $d$ 次不可約多項式, $r\geq 2$. 由引理 1 可知, $V$ 的任一 $\varphi$-不變子空間都滿足性質 $P$, 因此為了方便敘述, 我們不妨設 $V$ 就是初等因子 $P(\lambda)^r$ 的第二類廣義 Jordan 塊對應的子空間, 或者等價的, $\varphi$ 只有一個初等因子 $P(\lambda)^r$. 於是存在 $V$ 的一組基 $\{e_{1,1},e_{1,2},\cdots,e_{1,d};\cdots;e_{r,1},e_{r,2},\cdots,e_{r,d}\}$, 使得 $\varphi$ 在這組基下的表示矩陣為第二類廣義 Jordan 塊 $$J=J_r(P(\lambda))=\begin{pmatrix} F(P(\lambda)) & C & & & \\ & F(P(\lambda)) & C & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & \ddots & C \\ & & & & F(P(\lambda)) \end{pmatrix},$$ 其中 $F=F(P(\lambda))$ 是對應於 $P(\lambda)$ 的有理塊, $C$ 是左下角元素為 1, 其余元素為 0 的矩陣. 根據博文《16 級高代 II 思考題九的七種解法》的解答五可知, $V$ 的任意非零 $\varphi$-不變子空間 $U,W$ 都要包含子空間 $V_1=L(e_{1,1},e_{1,2},\cdots,e_{1,d})$, 從而 $U\cap W\neq 0$, 矛盾. 這也說明了第二類廣義 Jordan 塊的不可再分性.
另外, 蔣亦凡同學還提供了一種純矩陣的方法來證明充分性, 限於篇幅, 不再贅述.
必要性的四種證明
證法一 (由朱民哲同學提供) 設 $W$ 是滿足 $U\cap W=0$ 的維數最大的 $\varphi$-不變子空間, 我們斷言 $V=U\oplus W$, 這樣就證明了必要性. 用反證法, 設 $V\neq U\oplus W$, 則存在非零向量 $\alpha_1\not\in U\oplus W$. 設 $\alpha_1$ 的極小多項式 (定義參考教學論文 [2] 的定義 1) 為 $m_1(\lambda)$, 則 $m_1(\lambda)\mid m(\lambda)$. 考慮循環子空間 $C(\varphi,\alpha_1)=L(\alpha_1,\varphi(\alpha_1),\cdots,\varphi^{d_1-1}(\alpha_1))$, 其中 $1\leq d_1=\deg m_1(\lambda)\leq d=\deg m(\lambda)$, 若 $C(\varphi,\alpha_1)\cap (U\oplus W)=0$, 令 $W'=W\oplus C(\varphi,\alpha_1)$, 則 $U\cap W'=0$ 且 $\dim W'>\dim W$, 這與 $W$ 的假設矛盾. 因此存在非零向量 $g_1(\varphi)(\alpha_1)\in C(\varphi,\alpha_1)\cap (U\oplus W)$, 其中 $\deg g_1(\lambda)\leq d_1-1$. 設 $p_1(\lambda)=(g_1(\lambda),m_1(\lambda))$, 則存在 $u_1(\lambda),v_1(\lambda)$, 使得 $p_1(\lambda)=g_1(\lambda)u_1(\lambda)+m_1(\lambda)v_1(\lambda)$. 上式代入 $\lambda=\varphi$ 並作用在 $\alpha_1$ 上有 $p_1(\varphi)(\alpha_1)=u_1(\varphi)g_1(\varphi)(\alpha_1)\in C(\varphi,\alpha_1)\cap (U\oplus W)$. 由 $g_1(\varphi)(\alpha_1)\neq 0$ 可推出 $p_1(\varphi)(\alpha_1)\neq 0$, 並且由 $\alpha_1\not\in U\oplus W$ 可推出 $p_1(\lambda)$ 是 $m_1(\lambda)$ 的非常數真因式. 由於 $m(\lambda)$ 無重因式, 故 $m_1(\lambda)$ 也無重因式, 令 $q_1(\lambda)=\dfrac{m_1(\lambda)}{p_1(\lambda)}$, 則 $(p_1(\lambda),q_1(\lambda))=1$, 於是存在 $w_1(\lambda),t_1(\lambda)$, 使得 $p_1(\lambda)w_1(\lambda)+q_1(\lambda)t_1(\lambda)=1$. 上式代入 $\lambda=\varphi$ 並作用在 $\alpha_1$ 上有 $$w_1(\varphi)p_1(\varphi)(\alpha_1)+t_1(\varphi)q_1(\varphi)(\alpha_1)=\alpha_1\not\in U\oplus W,$$ 由 $p_1(\varphi)(\alpha_1)\in U\oplus W$ 馬上可推出 $q_1(\varphi)(\alpha_1)\not\in U\oplus W$. 令 $\alpha_2=q_1(\varphi)(\alpha_1)$, 則 $\alpha_2\not\in U\oplus W$, 並且 $\alpha_2$ 的極小多項式 $m_2(\lambda)=\dfrac{m_1(\lambda)}{q_1(\lambda)}=p_1(\lambda)$ 滿足 $1\leq d_2=\deg m_2(\lambda)<d_1=\deg m_1(\lambda)$. 繼續對 $\alpha_2$ 實施上述操作, 可得到 $\alpha_3$, 等等. 換言之, 在反復利用 $W$ 的維數最大性之后, 我們得到了 $m(\lambda)$ 的無限個非常數真因式 $m_1(\lambda),m_2(\lambda),\cdots$, 這顯然是不可能的, 矛盾. $\Box$
證法二 (由蔣亦凡同學和楊釗傑同學提供) 由假設可知 $\varphi$ 的初等因子都是 $\mathbb{K}$ 上的不可約多項式, 設為 $P_1(\lambda)$, $P_2(\lambda)$, $\cdots$, $P_k(\lambda)$, 再由高代白皮書的例 7.67 可知, $\varphi$ 的廣義 Jordan 標准型為 $J=\mathrm{diag}\{F(P_1(\lambda)),F(P_2(\lambda)),\cdots,F(P_k(\lambda))\}$. 設廣義 Jordan 塊 $F(P_i(\lambda))$ 對應的子空間為 $V_i$, 則 $V=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_k$. 我們對 $\dim U$ 進行反向歸納. 若 $\dim U=n$, 即 $U=V$, 結論顯然成立. 設 $\dim U>m$ 時, 結論成立, 現考慮 $\dim U=m$ 的情形. 首先斷言: 若 $U\cap V_i\neq 0$, 則 $V_i\subseteq U$. 事實上, 注意到 $\varphi|_{V_i}$ 的特征多項式為 $P_i(\lambda)$, 這是 $\mathbb{K}$ 上的不可約多項式, 若設 $\varphi$ 在 $U\cap V_i$ 上限制的特征多項式為 $f_i(\lambda)$, 則容易驗證 $f_i(\lambda)\mid P_i(\lambda)$, 從而只能是 $f_i(\lambda)=P_i(\lambda)$, 於是 $U\cap V_i=V_i$, 即 $V_i\subseteq U$. 下面依次考慮 $U$ 與 $V_1,V_2,\cdots,V_k$ 之間的關系. 若 $U\cap V_1=0$, 則令 $U'=U\oplus V_1$, 注意到 $\dim U'>m$, 從而由歸納假設存在 $\varphi$-不變子空間 $W'$, 使得 $V=U'\oplus W'=U\oplus V_1\oplus W'$, 再令 $W=V_1\oplus W'$ 即得結論. 若 $U\cap V_1\neq 0$, 則 $V_1\subseteq U$, 那么接下去考慮 $U$ 與 $V_2$ 之間的關系即可. 一直這樣做下去, 最后可知結論成立. $\Box$
證法三 (由章俊鑫同學提供) 根據博文《16 級高代 II 思考題九的七種解法》中引理 1 類似的討論, 可將構造 $U$ 的 $\varphi$-不變補空間的問題化約到 $\varphi$ 的極小多項式 $m(\lambda)$ 是 $\mathbb{K}$ 上的不可約多項式的情形. 任取 $U$ 的一組基, 並擴張為 $V$ 的一組基, 那么 $\varphi$ 在這組基下的表示矩陣為 $M=\begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix}$. 由 $m(M)=0$ 可得 $m(A)=0$, $m(B)=0$, 又 $m(\lambda)$ 在 $\mathbb{K}$ 上不可約, 從而 $A,B$ 的極小多項式都是 $m(\lambda)$, 於是 $A,B$ 的廣義 Jordan 標准型都是由若干個友陣 $C(m(\lambda))$ 構成的分塊對角陣. 為了敘述方便起見, 下面不妨假設 $A,B$ 的廣義 Jordan 標准型就是 $C(m(\lambda))$ (一般的情形證明完全類似), 因此存在 $V$ 的一組基 $\{e_1,e_2,\cdots,e_d;f_1,f_2,\cdots,f_d\}$, 使得 $U=L(e_1,e_2,\cdots,e_d)$, $\varphi$ 在這組基下的表示矩陣為 $\begin{pmatrix} C(m(\lambda)) & * \\ 0 & C(m(\lambda)) \end{pmatrix}$. 由分塊矩陣的定義可得 $$\varphi(f_1)=f_2+\alpha_2,\,\,\varphi(f_2)=f_3+\alpha_3,\,\,\cdots,\,\,\varphi(f_{d-1})=f_d+\alpha_d,$$ 其中 $\alpha_2,\alpha_3,\cdots,\alpha_d$ 都是 $U$ 中的向量. 經過整理可得 $\varphi^{i-1}(f_1)=f_i+\beta_i\,(1\leq i\leq d)$, 其中 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_d$ 都是 $U$ 中的向量. 通過簡單的計算可知, $\{e_1,e_2,\cdots,e_d;f_1,\varphi(f_1),\cdots,\varphi^{d-1}(f_1)\}$ 也是 $V$ 的一組基, 令 $W=L(f_1,\varphi(f_1),\cdots,\varphi^{d-1}(f_1))$, 則由 $f_1$ 的極小多項式為 $m(\lambda)$ (其次數為 $d$) 可知, $W$ 是 $\varphi$-不變子空間 (也就是循環子空間 $C(\varphi,f_1)$), 並且 $V=U\oplus W$, 結論得證. $\Box$
證法三展現給我們這樣一種思路, 那就是尋找 $U$ 的 $\varphi$-不變補空間 $W$, 等價於尋找一種相似變換 (也就是基變換), 它把分塊上三角陣變成分塊對角陣. 這種思路把幾何問題轉化成代數問題 (線性方程組求解問題), 然后我們就能利用基域擴張來進行處理了.
引理 2 設復矩陣 $M=\begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix}$ 可對角化, 其中 $A,B$ 分別是 $m,n$ 階復方陣, 則矩陣方程 $AX-XB=C$ 有解.
證明 這是15 級高代 II 期末考試第七大題. $\Box$
證法四 任取 $U$ 的一組基, 並擴張為 $V$ 的一組基, 那么 $\varphi$ 在這組基下的表示矩陣為 $M=\begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix}$, 其中 $A,B,C$ 都是 $\mathbb{K}$ 上的矩陣. 注意到 $M$ 的極小多項式 $m(\lambda)$ 無重因式, 由極小多項式在基域擴張下的不變性可知, 若把 $M$ 看成是復矩陣, 那么 $M$ 的極小多項式仍然是 $m(\lambda)$, 它在復數域上無重根, 於是 $M$ 復可對角化. 根據引理 2 可知, 矩陣方程 (這等價於一個線性方程組) $AX-XB=C$ 在復數域上有解, 由線性方程組的解在基域擴張下的不變性 (參考教學論文 [3] 的命題 2) 可知, 矩陣方程 $AX-XB=C$ 在 $\mathbb{K}$ 上也有解, 設為 $X=X_0$. 因此下面 $\mathbb{K}$ 上的相似變換 (等價於基變換) 可將 $M$ 化成分塊對角陣: $$\begin{pmatrix} I & X_0 \\ 0 & I \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I & -X_0 \\ 0 & I \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix},$$ 由此即得結論. $\Box$
研究 $\varphi$-不變子空間是否存在 $\varphi$-不變補空間, 這個問題從表示論的角度來看是有意義的, 比如它可以推導出表示的完全可約性. 作為本道思考題的一個簡單應用, 我們來看一道也可以用典型的表示論方法來做的題目.
應用 設 $V$ 是數域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 維線性空間, $\varphi$ 是 $V$ 上的線性變換, 滿足 $\varphi^m=I_V$, 其中 $m\geq 1$. 證明: 對 $V$ 的任一 $\varphi$-不變子空間 $U$, 均存在 $\varphi$-不變子空間 $W$, 使得 $V=U\oplus W$.
證法一 注意到 $\varphi$ 的極小多項式 $m(\lambda)$ 整除 $\lambda^m-1$, 后者沒有重因式 (它與它的形式導數互素), 所以 $m(\lambda)$ 也無重因式, 於是由思考題十即得結論.
證法二 (表示論的方法) 先任取 $U$ 的一個補空間 $U'$, 即 $V=U\oplus U'$, 並設 $p:V\rightarrow U$ 為投影映射 (參考高代白皮書第 204 頁第一行的定義). 考慮新的映射 $$\pi:V\rightarrow U,\,\,\,\,\pi(v)=\frac{1}{m}\sum_{i=0}^{m-1}\varphi^{-i}p\varphi^i(v),$$ 容易驗證 $\pi: V\rightarrow U$ 是線性映射, 並且對任意的 $u\in U$, 由 $U$ 的 $\varphi$-不變性可得 $\pi(u)=u$. 這說明 $\pi$ 是一個滿射, 同時也說明對任意的 $v\in V$, $\pi^2(v)=\pi(v)$, 即 $\pi^2=\pi$ 成立. 令 $W=\mathrm{Ker\,}\pi$, 先來證明 $W$ 是 $\varphi$-不變子空間. 任取 $w\in W$, 即 $\pi(w)=0$, 於是 $$\pi(\varphi(w))=\frac{1}{m}\sum_{i=0}^{m-1}\varphi^{-i}p\varphi^{i+1}(w)=\varphi(\frac{1}{m}\sum_{i=0}^{m-1}\varphi^{-i-1}p\varphi^{i+1}(w))=\varphi(\pi(w))=\varphi(0)=0,$$ 即 $\varphi(w)\in W$. 另一方面, 容易驗證 $V=U\oplus W$, 結論得證. $\Box$
參考文獻
[1] 謝啟鴻, 循環子空間的若干應用, 大學數學, 2016, 32(1), 1–6.
[2] 謝啟鴻, 循環子空間的進一步應用, 大學數學, 2017, 33(1), 17–25.
[3] 謝啟鴻, 高等代數中若干概念在基域擴張下的不變性, 大學數學, 2015, 31(6), 50–55.
[4] 謝啟鴻, Galois 理論在高等代數中的若干應用, 大學數學, 2016, 32(6), 8–12.