問題2017S01：設$A$是$n$階對合陣,即$A^2 = I_n$.
證明$n - \text{tr}(A)$為偶數,並且$\text{tr}(A) = n$當且僅當$A = I_n$
解答：問題2017S01解答
問題2017S02:
設方陣$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & a & 0 \\ a-2 & 0 & 1 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$可對角化,求$a$的值.
解答：問題2017S02解答
問題2017S03：設$A_1,\cdots,A_n \in M_n(\mathbb{K}),g(x) \in \mathbb{K}[x],$使得$g(A_1),\cdots,g(A_n)$都是非異陣.證明:存在$h(x) \in \mathbb{K}[x]$,使得$g(A_i)^{-1} = h(A_i)$對所有的$1 \le i \le m$都成立.
解答：問題2017S03解答
問題2017S04：設 $A=(a_{ij})$為$n$階復矩陣,證明:存在正數$\delta$,使得對任意的$s\in(0,\delta)$,下列矩陣均可對角化:
\[A(s)=\begin{pmatrix} a_{11}+s & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}+s^2 & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}+s^n \end{pmatrix}.\]
解答：問題2017S04解答
問題2017S05：設$A$為$n$階方陣,證明:若下列條件之一成立,則矩陣方程$AX+XA=X$只有零解.
(1) $A$為冪零陣,即存在正整數$m$,使得$A^m=0;$
(2) $A$中所有元素都為$1;$
(3) $A$的特征值全為偶數;
(4) $A$中所有特征值的模長都小於$\dfrac 12.$
解答：問題2017S05解答
問題2017S06：證明: 實對稱陣有完全的特征向量系, 從而可對角化.
解答：詳見實對稱陣可對角化的幾種證明.
問題2017S07：設$A,B,AB$都是$n$階實對稱陣, 證明: 若$s$是$AB$的一個特征值, 則存在$A$的特征值$\lambda_0$和$B$的特征值$\mu_0$, 使得$s=\lambda_0\mu_0$.
解答：問題2017S07解答
問題2017S08：設$n$階實方陣$A=\begin{pmatrix} a_1 & 1 & & & & \\ 1 & a_2 & 1 & & & \\ & 1 & a_3 & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & 1 & a_{n-1} & 1 \\ & & & & 1 & a_n \end{pmatrix}$
(1)求證: $A$有$n$個互不相同的特征值;
(2)試求實線性空間$C(A)=\{B\in M_n(\mathbb{R})\mid AB=BA\}$的維數.
解答：問題2017S08解答
問題2017S09:在謝老師的博文思考題九的七種解答中已經給出了十分詳細的討論,我這里就偷一個懶了,哈哈.有空再補出我自己的證明.
問題2017S10：設$V$是數域$\mathbb{K}$上的$n$維線性空間,$\varphi$是$V$上的線性變換,證明：$\varphi$的極小多項式在$\mathbb{K}$上不可約的充分必要條件是對於任意$\varphi$的不變子空間$\varphi$,存在$\varphi$的不變子空間$W$,使得$V = U \oplus W$
解答：問題2017S10解答
問題2017S11：設$f(z)$是收斂半徑為$+\infty$的復冪級數.$A \in M_n(\mathbb{C})$,$g(\lambda) = \det(f(\lambda)I_n-f(A))$,證明:$g(A)=0$
解答：問題2017S11解答
問題2017S12： 設$A$為$n$階正定對稱陣,$B$為$n$階實方陣,使得$\begin{pmatrix} A & B' \\ B & A^{-1} \end{pmatrix}$為半正定陣.證明$B$的特征值都落在復平面內的單位圓內.
解答：問題2017S12解答
問題2017S13： 設$AB$均為$n$階半正定實對稱陣,滿足$\mathrm{tr}(AB)=0$.求證$AB=0$
解答：問題2017S13解答
問題2017S14：設$a_1,\cdots,a_n$是$n$個互異的正實數,試用兩種方法證明:$n$階實對稱陣$A=(a_{ij})$是正定陣,其中$\displaystyle a_{ij}=\frac{1}{a_i+a_j}$
解答：問題2017S14解答
問題2017S15：設$A$為$n$階正定實對稱陣,$x = (x_1,\cdots,x_n)',f(x) = x'Ax$為對應的實二次型.設去掉的第$i$行和第$i$列后的主子陣為$A_i.$證明:$f(x)$在$x_i=1$的條件下的最小值為$\dfrac{|A|}{|A_i|}$
解答：問題2017S15解答
問題2017S16：設$A$為$n$階實對稱陣,證明:$A$為正定陣(半正定陣)的充要條件是
\[ c_r=\sum_{1\leq i_1<i_2<\cdots<i_r\leq n}A\begin{pmatrix}i_1\,\,i_2\,\,\cdots\,\,i_r \\i_1\,\,i_2\,\,\cdots\,\,i_r \end{pmatrix}>0\,\,(\geq 0),\,\,\,\,r=1,2,\cdots,n. \]
解答：問題2017S16解答
問題2017S17：設 $A$為 $n$階正定實對稱陣,$\alpha,\beta$是$n$維實列向量,證明:$(\alpha'\beta)^2\leq(\alpha'A\alpha)(\beta'A^{-1}\beta)$, 等號成立當且僅當$A\alpha$與$\beta$成比例.
解答：問題2017S17解答
問題2017S18: 設$A$為$n$階復矩陣, $\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$是 $-\dfrac{\mathrm{i}}{2}(A-\overline{A}')$的全體特征值, 證明:對$A$的任一特征值 $\lambda$,有$\lambda_1\leq\mathrm{Im\,}\lambda\leq\lambda_n$.
解答：問題2017S18解答
轉眼間一學期就結束了，高等代數的學習告一段落。思考題還是陪伴我度過了這學期的美好時光。接下來，就要向着后續課程前進了。
But the soil must be cultivated, and the season favourable, for the friuts to have all its spirit and flavor.
最后留下LaTeX源碼：
f1(λ)f2(λ)