目錄
題目：
1. 克萊姆法則解二階線性方程組需多少次乘除法？
- 用克萊姆法則求解時，需要計算n+1個n階行列式，
- 又每個n 階行列式為 n! 項之和，每項又是n個元素的乘積，計算中僅乘法就有
- （n+1）n!(n-1) 次。除法需要進行 n 次。
所以 當 n=2 時，乘法需要進行 3·2！·1=6 次， 2次除法。
2. 高斯消元過程目標是什么？消元過程需多少次乘除法？
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高斯消元過程目標是用行的初等變換將原線性方程組Ax=b化為與其等價的上三角形線性方程組。
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消元過程總的乘除法運算次數\(=\frac{n^{3}}{3}+n^{2}-\frac{n}{3}\)
3. Frobenius矩陣與高斯消元過程有何關系？
- Frobenius矩陣相當於對矩陣A進行一系列初等行變換，將矩陣A分解為兩個三角形矩陣相乘的因式分解。
4. 何謂矩陣的LU分解？如何用高斯消元法實現LU分解
- 矩陣的LU分解為把矩陣A分解為一個單位下三角矩陣L和一個上三角矩陣U的乘積。
- 將高斯消元法改寫為緊湊形式，可以直接從矩陣A的元素得到計算L,U元素的遞推公式，而不需要任何中間步驟。如采用矩陣的Doolittle方法。
5.求解三對角方程組的高斯消元法有何特點？
由於三對角矩陣的稀疏性質，采用高斯消元法效率很高，很有實用價值，對於n階三對角矩陣高斯消元法只用到5n-4次乘除法
6. 何謂向量范數的三角不等式？說出幾何意義？
\(\|x+y\| \leq\|x\|+\|y\|\)
幾何意義：三角形兩邊之和大於第三邊
7. 常用向量范數有哪三種？向量范數等價性有何意義？
- 常用的向量范數有 ∞- 范數，向量的1-范數，向量的2-范數
- 所謂范數等價，意思就是說，想要得到向量的某種性質，無論用哪種范數來估計，都可以獲得，因為各種范數之間可以相互控制。也就是說，使用向量的范數做估計（比如誤差估計），用哪種范數方便就用哪種，得到的結論本質上都是一致的。
8. 矩陣算子范數與向量范數有何關系，常用算子范數有哪三種？
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關系為：\(\|A\|=\max _{x \neq 0} \frac{\|A x\|_{v}}{\|x\|_{v}}\)
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常用的三種算子范數為: 1-范數 \(\|A\|_{1}=\max _{1 \leq j \leq n} \sum_{i=1}^{n}\left|a_{i j}\right|\)
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無窮大范數 :\(\|A\|_{\infty}=\max _{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^{n}\left|a_{i j}\right|\)
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2-范數 :\(\|A\|_{2}=\sqrt{\lambda_{\max }\left(A^{T} A\right)}\)
9. 矩陣條件數和線性方程組的條件數是同一個概念嗎？
不是同一個概念，線性方程組的條件數是衡量方程組病態程度的一個 指標，而當矩陣的條件數是相當於方程組提出時，它倆是一個概念，而當矩陣的條件數不是相對於方程組提出時，就不是一個概念。
10. 敘述平面三點定位的數學原理。寫出數學模型。
- 平面三點定位可看作定位點在三台定位裝置的中心處。通過三台定位裝置測量到定位點的距離來估算出定位點的大致坐標位置。
- 如圖課件里數學模型：
\[\begin{aligned} &\left\{\begin{array}{l} \left(x_{1}-x\right)^{2}+\left(y_{1}-y\right)^{2}=d_{1}^{2} \\ \left(x_{2}-x\right)^{2}+\left(y_{2}-y\right)^{2}=d_{2}^{2} \\ \left(x_{3}-x\right)^{2}+\left(y_{3}-y\right)^{2}=d_{3}^{2} \end{array}\right. \\ &\left\{\begin{array}{l} \left(x_{2}-x_{1}\right) x+\left(y_{2}-y_{1}\right) y=b_{1} \\ \left(x_{3}-x_{1}\right) x+\left(y_{3}-y_{1}\right) y=b_{2} \end{array}\right. \end{aligned} \]
其中
\[b_{1}=\frac{-\left[d_{2}^{2}-d_{1}^{2}+\left(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right)-\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right)\right]}{2} \]
\[b_{2}=\frac{-\left[d_{3}^{2}-d_{1}^{2}+\left(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right)-\left(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}\right)\right]}{2} \]
線性方程組:
\[\left[\begin{array}{ll} x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} \\ x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} b_{1} \\ b_{2} \end{array}\right] \]
