數值分析思考題（鍾爾傑版）參考解答——第二章

目錄

• 1. 二分法迭代數列的誤差限是如何估計的？
• 2. 二分法區間序列[an,bn]中，兩相鄰區間中點距離為多少？
• 3. 寫出方程$e^{-x}-\sin x=0$正根的隔根區間。
• 4. 何謂不動點迭代？不動點與方程的根有何區別？
• 5. 不動點迭代收斂速度的階是什么意思？
• 6.牛頓迭代法的2階收斂速度如何解釋？
• 7. 牛頓迭代法和割線法有何區別？
• 8. 敘述水中浮球問題，並寫出數學模型。

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1. 二分法迭代數列的誤差限是如何估計的？

設 \(x^{*}\) 是方程f(x)=0的准確解，\(x_k\) 是二分法產生的第k次迭代的近似解，
[a,b]是二分法開始時的隔根區間，則有

\[\left|x_{k}-x^{*}\right| \leq \frac{b-a}{2^{n+1}} \]

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2. 二分法區間序列[an,bn]中，兩相鄰區間中點距離為多少？

\[\left|x_{n}-x_{n-1}\right|=\left|\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}\right)-\frac{1}{2}\left(a_{n-1}+b_{n-1}\right)\right| \]

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3. 寫出方程\(e^{-x}-\sin x=0\)正根的隔根區間。

\[\begin{aligned} &\begin{aligned} \text { 令 } f(x)=e^{-x}-\sin x \quad f(0)=1>0 \\ f(1)=\frac{1}{e}-\sin 1<0 \Rightarrow f(0) \cdot f(1)<0 \\ f^{\prime}(x)=-e^{-x}-\cos x<0,0<x<1 \end{aligned}\\ &\text { 所以函數在 [0, 1]有唯一零點，故 }[0,1] \text { 是隔根區間 } \end{aligned} \]

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4. 何謂不動點迭代？不動點與方程的根有何區別？

1. 設方程 \(\mathrm{f}(\mathrm{x})=0\) 可以轉化為等價的形式 \(\mathrm{x}=\mathrm{g}(\mathrm{x})\), 從某個初值 \(x_{0}\) 出發。
   令 \(x_{k+1}=g\left(x_{k}\right), k=0,1,2,3, \ldots \quad(*)\)
   得到序列 \(\left\{x_{k}\right\}\), 當 \(\mathrm{g}(\mathrm{x})\) 連續，且 \(\left\{x_{k}\right\}\) 收斂於 \(\alpha\) 時有,
   \(\lim _{k \rightarrow \infty} x_{k+1}=\lim _{k \rightarrow \infty} g\left(x_{k}\right)=\mathrm{g}\left(\lim _{k \rightarrow \infty} x_{k}\right)\), 即有 \(\alpha=g(\alpha)\), 所以 \(\alpha\) 是方程 \(\mathrm{f}(\mathrm{x})=0\) 的根，稱上述函數 \(\mathrm{g}(\mathrm{x})\) 為迭代函數，稱 \(\alpha\) 是它的一個不動點，構造迭代公式 \((*)\) 的方法稱為不動點迭代法。
2. 方程的根是孤立的，彼此沒有聯系，而不動點之間可以迭代產生，彼此
   有聯系。

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5. 不動點迭代收斂速度的階是什么意思？

設 \(\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x^{*}\), 若存在 \(\mathrm{a}>0, \mathrm{r}>0\) 使得 \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left|x_{n+1}-x^{*}\right|}{\left|x_{n}-x^{*}\right|^{r}}=a\), 則稱數列 \(\{\mathrm{xn}\} \mathrm{r}\)階收斂
特別地 :
（1）收斂階 \(r=1\) 時, 稱為線性收斂;
（2） 收斂階 \(r>1\) 時, 稱為超收斂;
（3） 收斂階 \(r=2\) 時, 稱為平方收斂；
收斂階數越高, 收斂速度越快

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6.牛頓迭代法的2階收斂速度如何解釋？

設 \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) 在點 \(\mathrm{x}\) *的某鄰域內具有二階連續導數, 且設 \(\mathrm{f}(\mathrm{x} *)=0\),
\(f^{\prime}\left(x^{*}\right) \neq 0\), 則對充分靠近點 \(x^{*}\) 的初值 \(x 0\), 牛頓迭代法至少平方收斂

\[x_{n+1}=x_{n}-\frac{f\left(x_{n}\right)}{f^{\prime}\left(x_{n}\right)} \]

\[\varphi(x)=x_{n}-\frac{f\left(x_{n}\right)}{f^{\prime}\left(x_{n}\right)} \quad \varphi^{\prime}(x)=\frac{f\left(x^{*}\right) f^{\prime \prime}\left(x^{*}\right)}{\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}}=0 \]

\[\varphi^{\prime \prime}\left(x^{*}\right)=\frac{f^{\prime \prime}\left(x^{*}\right)}{f^{\prime}\left(x^{*}\right)} \]

所以，牛頓迭代法至少二階收斂。

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7. 牛頓迭代法和割線法有何區別？

牛頓迭代法是單步迭代，產生一個數列逐次逼近位於初值附近的方程的根，每一次迭代要涉及到一個函數值和一個導數值的計算，它的幾何背景是用曲線上的某一點處的切線與X軸交點的坐標值產生下一個根的近似值。牛頓迭代法收斂速度快，具有二階收斂速度（ 一種直觀解釋是迭代一次，有效數位數增加一倍），但它是一種局部收斂的方法。理論基礎是如下的泰勒中值定理

\[\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{xn})+(\mathrm{x}-\mathrm{xn}) f^{\prime}(x n)+\frac{1}{2}(x-x n)^{2} f^{\prime \prime}(\xi n) \]

割線法不是單點迭代，在每一次迭代中要用前兩個根的近似值計算產生第三個近似根。迭代過程中不用計算函數的導數，只需計算函數值。它的幾何背景是用曲線上兩個不同點聯結的割線與X軸交點的坐標值產生新的根的近似值，也是一種局部收斂方法，收斂速度不如牛頓迭代法快，具有1.618階的收斂速度（\(p^{2}-\mathrm{p}-1=0\)的正根），理論基礎是如下的牛頓插值公式

\[\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{xn})+(\mathrm{x}-\mathrm{xn}) f\left[x n, x_{n-1}\right]+\frac{f^{\prime \prime}(\xi n)}{2}(x-x n)\left(x-x_{n-1}\right) \]

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8. 敘述水中浮球問題，並寫出數學模型。

水中浮球問題可以看做一個木質球體漂浮在水中，假設木質球體半徑R =10 cm,密度 ρ=0.638. 求浸入水中的深度d 是多少？

\[\mathrm{V}=\int_{0}^{d} \pi\left(R^{2}-(R-x)^{2}\right) \mathrm{dx}=\frac{1}{3} \pi d^{2}(3 R-d) \]

根據阿基米德原理——浮力大小等於排開水的重量

\[\frac{4}{3} \pi R^{3} \rho=\frac{1}{3} \pi d^{2}(3 R-d) \quad d^{3}-3 R d^{2}+4 R^{3} \rho=0 \]

代入d和ρ即可求得d