16 級高代 II 思考題九 設 $V$ 是數域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 維線性空間, $\varphi$ 是 $V$ 上的線性變換, $f(\lambda),m(\lambda)$ 分別是 $\varphi$ 的特征多項式和極小多項式. 設 $f(\lambda)=m(\lambda)=P_1(\lambda)^{r_1}P_2(\lambda)^{r_2}\cdots P_k(\lambda)^{r_k}$, 其中 $P_1(\lambda),P_2(\lambda),\cdots,P_k(\lambda)$ 是 $\mathbb{K}$ 上互異的首一不可約多項式, $r_i\geq 1$, 試求 $V$ 的所有 $\varphi$-不變子空間.
解法一 利用發展起來的循環子空間理論, 請參考教學論文 [1] 的例 2.
為了闡述接下去的幾種解法, 我們先做一個化簡, 把問題歸結到一個初等因子的情形.
設 $V_i=\mathrm{Ker\,}P_i(\varphi)^{r_i}$, $f_i(\lambda),m_i(\lambda)$ 分別是 $\varphi|_{V_i}$ 的特征多項式和極小多項式, 則由高代白皮書的例 7.21 可得, $V=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_k$, 且 $f_i(\lambda)=m_i(\lambda)=P_i(\lambda)^{r_i}$.
引理 1 任取 $V$ 的 $\varphi$-不變子空間 $U$, 則 $U=U_1\oplus U_2\oplus\cdots\oplus U_k$, 其中 $U_i$ 是 $V_i$ 的 $\varphi$-不變子空間.
引理 1 的證明 令 $U_i=U\cap V_i$, 則 $U_i$ 是 $V_i$ 的 $\varphi$-不變子空間. 由 $V_i$ 的和是直和易證 $U_i$ 的和也是直和. 一方面, $U_1+U_2+\cdots+U_k\subseteq U$ 是顯然的. 另一方面, 任取 $u\in U$, 設 $u=v_1+v_2+\cdots+v_k$, 其中 $v_i\in V_i$, 我們只要證明 $v_i\in U_i$, 就能得到 $U\subseteq U_1+U_2+\cdots+U_k$, 從而 $U=U_1+U_2+\cdots+U_k=U_1\oplus U_2\oplus\cdots\oplus U_k$. 注意到 $P_i(\lambda)^{r_i}$ 是兩兩互素的多項式, 由中國剩余定理可知, 存在多項式 $g(\lambda),q_i(\lambda)$, 使得 $$g(\lambda)=P_1(\lambda)^{r_1}q_1(\lambda)+1,\,\,\,\,g(\lambda)=P_i(\lambda)^{r_i}q_i(\lambda),\,\,i\geq 2,$$ 於是 $$g(\varphi)(u)=(q_1(\varphi)P_1(\varphi)^{r_1}+I_V)(v_1)+\sum_{i=2}^kq_i(\varphi)P_i(\varphi)^{r_i}(v_i)=v_1,$$ 即 $v_1=g(\varphi)(u)\in U$, 從而 $v_1\in U_1$. 同理可證其他情形. $\Box$
以下我們不妨假設 $\varphi$ 的特征多項式 $f(\lambda)$ 和極小多項式 $m(\lambda)$ 滿足 $f(\lambda)=m(\lambda)=P(\lambda)^r$, 其中 $P(\lambda)=\lambda^d+a_1\lambda^{d-1}+\cdots+a_{d-1}\lambda+a_d$ 是 $\mathbb{K}$ 上的 $d$ 次首一不可約多項式, $r\geq 1$.
任取 $V$ 的非零 $\varphi$-不變子空間 $U$, 容易驗證限制變換 $\varphi|_U$ 的特征多項式是 $\varphi$ 的特征多項式的因式, 故可設 $\varphi|_U$ 的特征多項式為 $P(\lambda)^s$, 其中 $1\leq s\leq r$. 由 Cayley-Hamilton 定理可知, $U\subseteq\mathrm{Ker\,}P(\varphi)^s$. 注意到 $\dim U=\deg P(\lambda)^s=sd$, 如果我們能證明 $$(*)\qquad\dim\mathrm{Ker\,}P(\varphi)^s=sd\,\,\text{對任意的}\,\,1\leq s\leq r\,\,\text{都成立},$$ 那么 $U=\mathrm{Ker\,}P(\varphi)^s$, 從而 $V$ 的所有 $\varphi$-不變子空間就是 $\{\mathrm{Ker\,}P(\varphi)^s,\,\,0\leq s\leq r\}$, 共有 $r+1$ 個.
解法二 (由王雨程同學提供) 令 $K_i=\mathrm{Ker\,}P(\varphi)^i$, 則 $K_i$ 是 $\varphi$-不變子空間, 若設 $\varphi|_{K_i}$ 的特征多項式為 $P(\lambda)^{t_i}$, 則 $\dim K_i=\deg P(\lambda)^{t_i}=t_id$. 注意到 $0=K_0\subseteq K_1\subseteq K_2\subseteq\cdots\subseteq K_r=V$, 並且 $K_1\neq 0$ (否則, $P(\varphi)$ 為同構, 這與 $P(\varphi)^r=0$ 矛盾), 於是有不等式 $1\leq t_1\leq t_2\leq\cdots\leq t_r=r$. 我們斷言 $t_i<t_{i+1}$ 對任意的 $1\leq i<r$ 都成立. 用反證法, 若存在 $1\leq j<r$, 使得 $t_j=t_{j+1}$, 則由高代白皮書的例 4.32 完全類似的討論可得 $K_j=K_{j+1}=\cdots=K_r=V$, 於是 $\varphi$ 適合多項式 $P(\lambda)^j$, 這與 $\varphi$ 的極小多項式 $m(\lambda)=P(\lambda)^r$ 矛盾. 由上述斷言即得 $t_i=i\,(1\leq i\leq r)$ 成立, $(*)$ 式得證. $\Box$
我們也可以把 $\varphi|_{K_i}$ 的極小多項式先求出來, 下面的引理是 16 級高代 II 期中考試第六大題.
引理 2 設 $W$ 是非零 $\varphi$-不變子空間, 則 $\varphi|_W$ 的極小多項式等於其特征多項式.
引理 2 的證明 取 $W$ 的一組基, 並延拓為 $V$ 的一組基, 則 $\varphi$ 在這組基下的表示矩陣為 $M=\begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix}$. 已知 $M$ 的極小多項式等於其特征多項式, 我們只要證明 $A$ 的極小多項式也等於其特征多項式即可. 由於極小多項式在基域擴張下不改變 (參考教學論文 [2]), 所以我們可以把涉及到的矩陣都看成復矩陣來處理. 用反證法, 若 $A$ 的極小多項式不等於其特征多項式, 那么必存在 $A$ 的特征值 $\lambda_0$, 使得屬於它的 Jordan 塊至少有兩個, 從而 $\lambda_0$ 至少有兩個線性無關的特征向量. 把這些特征向量延拓一下, 可以得到 $\lambda_0$ 作為 $M$ 的特征值, 它至少有兩個線性無關的特征向量, 從而至少有兩個 Jordan 塊, 但這與 $M$ 的極小多項式等於其特征多項式相矛盾. $\Box$
解法三 (由馮雅頌同學提供) 令 $K_s=\mathrm{Ker\,}P(\varphi)^s$, 則 $\varphi|_{K_s}$ 適合多項式 $P(\lambda)^s$, 從而其極小多項式整除 $P(\lambda)^s$. 由引理 2 可知, $\varphi|_{K_s}$ 的極小多項式等於其特征多項式, 於是其特征多項式的次數小於等於 $\deg P(\lambda)^s=sd$, 從而 $sd=\dim U\leq\dim K_s\leq sd$, 故 $U=K_s$. $\Box$
設 $\varphi$ 在某組基下的表示矩陣為 $A$, 則由線性變換的維數公式可知 $\dim\mathrm{Ker\,}P(\varphi)^s=n-r(P(A)^s)$. 下面的解法四根據矩陣的秩在基域擴張下的不變性 (參考教學論文 [2]), 利用 $A$ 的 Jordan 標准型來計算 $P(A)^s$ 的秩, 而解法五則利用數域 $\mathbb{K}$ 上 $A$ 的第一類廣義 Jordan 標准型來計算 $P(A)^s$ 的秩.
解法四 由假設 $A$ 的特征多項式 $f(\lambda)$ 和極小多項式 $m(\lambda)$ 滿足 $$f(\lambda)=m(\lambda)=P(\lambda)^r=(\lambda-\lambda_1)^r(\lambda-\lambda_2)^r\cdots(\lambda-\lambda_d)^r,$$ 其中 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_d$ 是 $P(\lambda)$ 的 $d$ 個不同的復數根, 於是 $A$ 的 Jordan 標准型為 $J=\mathrm{diag}\{J_r(\lambda_1),J_r(\lambda_2),\cdots,J_r(\lambda_d)\}$, 從而 $P(J)^s=(J-\lambda_1I)^s(J-\lambda_2I)^s\cdots(J-\lambda_dI)^s$. 由簡單的計算可得 $r(P(A)^s)=r(P(J)^s)=(r-s)d=n-sd$, 從而 $\dim\mathrm{Ker\,}P(\varphi)^s=sd$. $\Box$
解法五 (由徐鈺倫同學提供) 由高代白皮書的例 7.67 可知, $A$ 的第一類廣義 Jordan 標准型為 $$J=J_r(P(\lambda))=\begin{pmatrix} F(P(\lambda)) & I & & & \\ & F(P(\lambda)) & I & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & \ddots & I \\ & & & & F(P(\lambda)) \end{pmatrix},$$ 其中 $F(P(\lambda))$ 是對應於 $P(\lambda)$ 的有理塊, $I$ 是單位陣. 根據通常的 Jordan 塊帶入多項式的計算可知, $P(J)^s$ 是一個上三角矩陣, 上 $i$ 次分塊對角線上的元素均為 $\dfrac{1}{i!}(P(\lambda)^s)^{(i)}|_{\lambda=F(P(\lambda))}$, $0\leq i\leq r-1$. 注意到 $F=F(P(\lambda))$ 適合其特征多項式 $P(\lambda)$, 並由 $P(\lambda)$ 不可約可知 $(P(\lambda),P'(\lambda))=1$, 從而 $P'(F)$ 為可逆陣. 於是由簡單的計算可知, 當 $0\leq i<s$ 時, $P(J)^s$ 的上 $i$ 次分塊對角線上的元素全為零, 而 $P(J)^s$ 的上 $s$ 次分塊對角線上的元素全為 $P'(F)^s$, 這是一個非異陣, 從而 $r(P(A)^s)=r(P(J)^s)=(r-s)d=n-sd$, 從而 $\dim\mathrm{Ker\,}P(\varphi)^s=sd$. $\Box$
利用數域 $\mathbb{K}$ 上 $\varphi$ 的第二類廣義 Jordan 標准型, 我們可以給出最后兩種解法, 它們分別對應於博文《Jordan 塊的幾何》中 Part B 的兩種方法. 我們驚奇的發現, 第一類廣義 Jordan 塊繼承了通常 Jordan 塊在矩陣運算中的便利, 而第二類廣義 Jordan 塊則繼承了通常 Jordan 塊在循環空間框架下的幾何意義.
由高代白皮書的例 7.67 可知, 存在 $V$ 的一組基 $\{e_{1,1},e_{1,2},\cdots,e_{1,d};e_{2,1},e_{2,2},\cdots,e_{2,d};\cdots;e_{r,1},e_{r,2},\cdots,e_{r,d}\}$, 使得 $\varphi$ 在這組基下的表示矩陣為第二類廣義 Jordan 標准型 $$J=\widetilde{J}_r(P(\lambda))=\begin{pmatrix} F(P(\lambda)) & C & & & \\ & F(P(\lambda)) & C & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & \ddots & C \\ & & & & F(P(\lambda)) \end{pmatrix},$$ 其中 $C$ 是左下角元素為 1, 其余元素為 0 的矩陣. 為了表達式的統一性, 約定 $e_{0,j}=0\,(1\leq j\leq d)$, 則有 $$\varphi(e_{i,d})=e_{i,d-1}-a_1e_{i,d},\,\,\varphi(e_{i,d-1})=e_{i,d-2}-a_2e_{i,d},\,\,\cdots,\\ \varphi(e_{i,2})=e_{i,1}-a_{d-1}e_{2,d},\,\,\varphi(e_{i,1})=e_{i-1,d}-a_de_{i,d},\,\,1\leq i\leq r.$$ 整理后可得 $$e_{i,d-1}=(\varphi+a_1I_V)(e_{i,d}),\,\,e_{i,d-2}=(\varphi^2+a_1\varphi+a_2I_V)(e_{i,d}),\,\,\cdots,\\ e_{i,1}=(\varphi^{d-1}+a_1\varphi^{d-2}+\cdots+a_{d-1}I_V)(e_{i,d}),\,\,e_{i-1,d}=P(\varphi)(e_{i,d}),\,\,1\leq i\leq r.\qquad (**)$$
令 $V_i=L(e_{i,1},e_{i,2},\cdots,e_{i,d})$, 則 $V=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_r$. 根據上面的關系式 $(**)$ 可知, 在 $V_i$ 中, $e_{i,d}$ 可通過 $\varphi$ 的次數小於 $n$ 的多項式映到每一個基向量 $e_{i,j}\,(1\leq j\leq d)$, 並且 $e_{i,d}$ 可通過 $P(\varphi)$ 映到 $e_{i-1,d}$, 進一步還有 $P(\varphi)(e_{i,j})=e_{i-1,j}$, 從而 $P(\varphi)^i(e_{i,j})=0\,(1\leq i\leq r,\,1\leq j\leq d)$.
解法六 (由何陶然同學和顏匡萱同學提供) 由上面的關系式易證 $\mathrm{Ker\,}P(\varphi)^s=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_s$, 特別的, $\dim\mathrm{Ker\,}P(\varphi)^s=sd$, 從而 $(*)$ 式得證. 進一步, 每一個 $\mathrm{Ker\,}P(\varphi)^s\,(1\leq s\leq r)$ 都是一個循環子空間, 其循環向量是 $e_{s,d}$, 它的極小多項式是 $P(\lambda)^s$. $\Box$
解法七 任取 $V$ 的非零 $\varphi$-不變子空間 $U$, 令 $$s=\max\{\,i\,|\,u=u_1+u_2+\cdots+u_i,\,\,\text{其中}\,u\in U,\,u_j\in V_j\,(1\leq j\leq i)\,\text{且}\,u_i\neq 0\},$$ 則 $U\subseteq V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_s$. 反之, 可取到 $u\in U$, $u=u_1+u_2+\cdots+u_s$, 其中 $u_j\in V_j\,(1\leq j\leq s)$ 且 $u_s\neq 0$. 由上面的關系式可知, 存在不能被 $P(\lambda)$ 整除的多項式 $g(\lambda)$, 使得 $u=g(\varphi)(e_{s,d})$. 由於 $(g(\lambda),P(\lambda)^s)=1$, 故存在 $u(\lambda),v(\lambda)$, 使得 $g(\lambda)u(\lambda)+P(\lambda)^sv(\lambda)=1$. 上式代入 $\lambda=\varphi$ 並作用在 $e_{s,d}$ 上可得 $$e_{s,d}=u(\varphi)g(\varphi)(e_{s,d})+v(\varphi)P(\varphi)^s(e_{s,d})=u(\varphi)(u)\in U,$$ 於是 $U=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_s=\mathrm{Ker\,}P(\varphi)^s$. $\Box$
綜合以上證明, $V$ 的任一 $\varphi$-不變子空間 $U$ 必為 $\mathrm{Ker\,}(P_1(\varphi)^{s_1}P_2(\varphi)^{s_2}\cdots P_k(\varphi)^{s_k})$ 的形式, 其中 $0\leq s_i\leq r_i\,(1\leq i\leq k)$, 這樣的 $\varphi$-不變子空間一共有 $(r_1+1)(r_2+1)\cdots(r_k+1)$ 個. $\Box$
參考文獻
[1] 謝啟鴻, 循環子空間的進一步應用, 大學數學, 2017, 33(1), 17–25.
[2] 謝啟鴻, 高等代數中若干概念在基域擴張下的不變性, 大學數學, 2015, 31(6), 50–55.