等額本息計算公式推導

　　等額本息、等額本金是兩種常見的還款方式，是常見的金融術語，我們購房貸款時也會遇到這兩個還款方式的選擇。等額本息的每期還款總金額（本金+利息）是固定的，那么這個數值是怎么計算出來的呢？近期業務開發中剛好遇到等額本息的相關需求，整理記錄了一下計算公式與推導過程。

一、等額本息每期還款總金額計算公式

　　假設貸款總金額為A，月利率為β，貸款期數為k，每期需還款總金額（本金+利息）為x，則：

　　第一期還款后，欠款總金額 Q1 = A * (1 + β) - x

　　第二期還款后，欠款總金額 Q2 = Q1 * (1 + β) - x = [A * (1 + β) - x] * (1 + β) - x = A * (1 + β) ^ 2 - [1 + (1 + β)] * x

　　第三期還款后，欠款總金額 Q3 = Q2 * (1 + β) - x = {A * (1 + β) ^ 2 - [1 + (1 + β)] * x} * (1 + β) - x = A * (1 + β) ^ 3 - [(1 + β) ^ 2 + (1 + β) + 1] * x

　　由此可得出，第k期還款后，欠款總金額 Qk = Qk-1 * (1 + β) - x = ... = A * (1 + β) ^ k - [(1 + β) ^ (k-1) + (1 + β) ^ (k-2) + ... + 1] * x。

　　我們發現[]內是等比數列，等比數列求和公式是不是又忘記了？我們一起來推導下。設y=1 + β，則Sk = 1 + y + y ^2 + ... + y ^ (k-1)，y * Sk = y + y ^2 + ... + y ^ (k-1) + y ^ k，兩公式相差得 y * Sk - Sk = y ^ k - 1，從而得出Sk = (y ^ k - 1) / (y -1)。

　　由此繼續 Qk = A * (1 + β) ^ k - {[(1 + β) ^ k - 1] / β} * x，第k期還款后貸款結束，因此Qk = 0，即 A * (1 + β) ^ k - {[(1 + β) ^ k - 1] / β} * x = 0，得出等額本息每期還款本息總額 x = A * β * (1 + β) ^ k / [(1 + β) ^ k - 1]，這便是每期需要還款的總金額。

二、等額本息每期還款本金計算公式

　　等額本息每期還款總金額x公式已經有了，那么每期還款的本金是多少呢？假設第n期還款本金為Pn，則：

　　第一期需還本金 P1 = x - A * β

　　第二期需還本金 P2 = x - (A - P1) * β = x - {A - [x - A * β]} * β = x - A * β + (x - A * β) * β = P1 + P1 * β = P1 * (1 + β)

　　第三期需還本金 P3 = x - (A - P1 - P2) * β = x - {A - P1 - P1 * (1 + β)} * β = x - A * β + P1 * β + P1 * (1 + β) * β = P1 * (1 + β) ^ 2

　　則可以猜測第n期需還本金 Pn = P1 * (1 + β) ^ (n - 1)

　　下面我們來論證這個公式，假設公式成立，則 P(n + 1) = x - [A - P1 - P2 - ... -Pn] * β = x - {A - P1 * [1 + (1 + β) + ... + (1 + β) ^ (n - 1)]} * β = x - {A - P1 * [(1 + β) ^ n - 1] / β} * β = x - A * β + P1 * [(1 + β) ^ n - 1] = p1 * (1 + β) ^ n

　　由此可以得出，等額本息還款中每期還款本金 Pn = P1 * (1 + β) ^ (n - 1)

三、首期利息與末期本金

1、首期利息

　　等額本息中，首期還款可能存在不足月的情況，這時候本金可以嚴格按照上述公式得出，但利息肯定不能按滿月算了（每期還款利息是按期數-月為單位的），這時候首期利息得需要按實際使用天數進行特殊計算。

　　假設第一期還款時實際使用天數為 t，則首期利息 L1 = A * β * t / 30　　

　　如何計算首期實際使用天數？

　　首期實際使用天數計算實性的是“對月對日”，首先找到首期還款日t1對應上一期的還款日t0（若當月t0不存在，則往下延一天，即下月的首日），再比較起息日y和t0的天數差，綜合，首期實際使用天數 t = 30 - (y - t0)。

　　范例：

　　1) 起息日2018-02-15，首期還款日2018-03-10，則t0為2018-02-10，得出首期實際使用天數 t = 30- (2018-02-15 - 2018-02-10) = 25

　　2) 起息日2018-03-02，首期還款日2018-03-31，則t0為2018-03-01（對應2018-02-31不存在，則順延一天），得出首期實際使用天數 t = 30- (2018-03-02 - 2018-03-01) = 29

2、末期本金

　　由於每期還款本金是公式計算后取四舍五入的值，存在精度丟失問題，因此末期還款本金金額為 Pk = A - P1 - P2 - ... - P(k-1)

四、總結

　　假設貸款總金額為A，月利率為β，貸款期數為k，每期需還款總金額（本金+利息）為x，第n期需還款本金為Pn，第n期需還利息為Ln，則：

　　第1至k-1期每期還款本金 Pn (1 <= n < k) = P1 * (1 + β) ^ (n - 1)

　　第k期還款本金 Pk = A - P1 - P2 - ... - P(k-1)

　　第1期還款利息 L1 = A * β * t / 30 　　

　　第2期到k期還款利息 Ln = x - Pn

　　第1期還款本息總額 w1 = P1 + L1

　　第2期至k期還款本息總額 wn = x