等額本息PMT和PPMT推導計算公式

一、等額本息每期還款總金額計算公式
假設貸款總金額為A，月利率為β，貸款期數為k，每期需還款總金額（本金+利息）為x，則：
第一期還款后，欠款總金額 Q1 = A * (1 + β) - x
第二期還款后，欠款總金額 Q2 = Q1 * (1 + β) - x = [A * (1 + β) - x] * (1 + β) - x
= A * (1 + β) ^ 2 - [1 + (1 + β)] * x
第三期還款后，欠款總金額 Q3 = Q2 * (1 + β) - x
= {A * (1 + β) ^ 2 - [1 + (1 + β)] * x} * (1 + β) - x
= A * (1 + β) ^ 3 - [(1 + β) ^ 2 + (1 + β) + 1] * x
由此可得出
第k期還款后， 欠款總金額 Qk = Qk-1 * (1 + β) - x = …
= A * (1 + β) ^ k - [(1 + β) ^ (k-1) + (1 + β) ^ (k-2) + … + 1] * x。
我們發現[ ]內是等比數列，等比數列求和公式是不是又忘記了？
我們一起來推導下。設y=1 + β，
則Sk = 1 + y + y ^2 + … + y ^ (k-1)，y * Sk = y + y ^2 + … + y ^ (k-1) + y ^ k，
兩公式相差得 y * Sk - Sk = y ^ k - 1，從而得出Sk = (y ^ k - 1) / (y -1)。
由此繼續 Qk = A * (1 + β) ^ k - {[(1 + β) ^ k - 1] / β} * x，
第k期還款后貸款結束，因此Qk = 0，即 A * (1 + β) ^ k - {[(1 + β) ^ k - 1] / β} * x = 0，
得出等額本息每期還款本息總額 x = A * β * (1 + β) ^ k / [(1 + β) ^ k - 1]，
這便是每期需要還款的總金額。
二、等額本息每期還款本金計算公式等額本息每期還款總金額
x公式已經有了，那么每期還款的本金是多少呢？假設第n期還款本金為Pn，
則： 第一期需還本金 P1 = x - A * β
第二期需還本金 P2 = x - (A - P1) * β
= x - {A - [x - A * β]} * β
= x - A * β + (x - A * β) * β
= P1 + P1 * β = P1 * (1 + β)
第三期需還本金 P3 = x - (A - P1 - P2) * β
= x - {A - P1 - P1 * (1 + β)} * β
= x - A * β + P1 * β + P1 * (1 + β) * β
= P1 * (1 + β) ^ 2
則可以猜測第n期需還本金 Pn = P1 * (1 + β) ^ (n - 1)
下面我們來論證這個公式，假設公式成立，
則 P(n + 1) = x - [A - P1 - P2 - … -Pn] * β
= x - {A - P1 * [1 + (1 + β) + … + (1 + β) ^ (n - 1)]} * β
= x - {A - P1 * [(1 + β) ^ n - 1] / β} * β
= x - A * β + P1 * [(1 + β) ^ n - 1] = p1 * (1 + β) ^ n
由此可以得出，等額本息還款中每期還款本金 Pn = P1 * (1 + β) ^ (n - 1)
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