【題解】亞瑟王 HNOI 2015 BZOJ 4008 概率 期望 動態規划

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一道不簡單的概率和期望dp題

根據期望的線性性質，容易想到，可以算出每張卡的期望傷害，然后全部加在一起

手算樣例之后發現是正確的，那么我們只要求出每張卡的實際被使用的概率就可以了

記第$i$張卡的實際被使用的概率為$fp[i]$

那么答案就是

$\Large\sum\limits_{i=0}^{n-1}fp[i]\cdot d[i]$

如何求出$fp[i]$？

首先考慮第一張卡的$fp$，也就是$fp[0]$，應該為

$\Large fp[0]=1-(1-p[i])^{r}$

這個很容易理解，因為$(1-p[i])^r$就是這張卡從頭到尾始終憋着不出的概率

那么對於后面的$fp$應該怎么求呢

有個條件很煩人，就是在每一輪中，出了一張卡的時候立即結束該輪

那么下面就輪到dp上場啦！

令$f[i][j]$表示在所有的$r$輪中，前$i$張卡中一共出了$j$張的概率，那么就可以用$O(n)$的時間算出$fp[i](i>0)$

枚舉前$i-1$輪選了$j$張牌，那么有$j$輪不會考慮到第$i$張牌，也就是有$r-j$輪會考慮到第$i$張牌

那么根據上面的分析，$1-(1-p[i])^{r-j}$就是在$r-j$輪中使用過第$i$張牌的概率，式子：

$\Large fp[i]=\sum\limits_{j=0}^{r}f[i-1][j]\cdot(1-(1-p[i])^{r-j})(i>0)$

接下來只要寫出$f[i][j]$的轉移方程就好了，分兩種情況討論

第一種，$f[i][j]$從$f[i-1][j]$轉移過來，即第$i$張牌最終沒有選，始終不選第$i$張牌的概率是$(1-p[i])^{r-j}$

$\Large f[i][j]+=f[i-1][j]\cdot(1-p[i])^{r-j}(i>0)$

第二種，當$j>0$時，$f[i][j]$可以從$f[i-1][j-1]$轉移過來，表示最終選擇了第$i$張牌

這時候，有$j-1$輪沒有考慮到第$i$張牌，所以考慮到第$i$張牌的輪數是$r-j+1$，最終選擇的概率為$1-(1-p[i])^{r-j+1}$

$\Large f[i][j]+=f[i-1][j-1]\cdot(1-(1-p[i])^{r-j+1})(i>0,j>0)$

然后就沒了，總時間復雜度$O(Tnr)$，具體細節看代碼

因為洛谷上有點卡時，所以預處理了$(1-p[i])$的冪

#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>

using namespace std;
const int MAXN = 223;
const int MAXR = 135;

int n, r, d[MAXN];
double p[MAXN], fp[MAXN];

double pow1p[MAXN][MAXN]; // pow1p[i][j]表示(1-p[i])^j
void prelude() {
    for( int i = 0; i < n; ++i ) {
        pow1p[i][0] = 1;
        for( int j = 1; j <= r; ++j )
            pow1p[i][j] = pow1p[i][j-1] * (1-p[i]);
    }
}

double f[MAXN][MAXR];
double solve() {
    memset( f, 0, sizeof(f) );
    memset( fp, 0, sizeof(fp) );
    f[0][0] = pow1p[0][r]; // 邊界
    f[0][1] = fp[0] = 1-f[0][0];
    for( int i = 1; i < n; ++i ) {
        for( int j = 0; j <= r; ++j ) {
            fp[i] += f[i-1][j] * (1 - pow1p[i][r-j]); // 根據f計算fp
            f[i][j] += f[i-1][j] * pow1p[i][r-j]; // 不選第i張
            if( j ) f[i][j] += f[i-1][j-1] * (1 - pow1p[i][r-j+1]); // 選第i張
        }
    }
    double rtn = 0;
    for( int i = 0; i < n; ++i ) {
        // printf( "fp[%d] = %lf\n", i, fp[i] );
        rtn += d[i] * fp[i];
    }
    return rtn;
}

int main() {
    int T; scanf( "%d", &T );
    while( T-- ) {
        scanf( "%d%d", &n, &r );
        for( int i = 0; i < n; ++i ) scanf( "%lf%d", p+i, d+i );
        prelude();
        printf( "%.10lf\n", solve() );
    }
    return 0;
}