Luogu 1437 [HNOI2004]敲磚塊 （動態規划）
Description
在一個凹槽中放置了 n 層磚塊、最上面的一層有n塊磚，從上到下每層依次減少一塊磚。每塊磚都有一個分值，敲掉這塊磚就能得到相應的分值，如下圖所示。
14 15 4 3 23
33 33 76 2
2 13 11
22 23
31
如果你想敲掉第 i 層的第j 塊磚的話，若i=1，你可以直接敲掉它；若i>1，則你必須先敲掉第i-1 層的第j 和第j+1 塊磚。你現在可以敲掉最多 m 塊磚，求得分最多能有多少。
Input
輸入文件的第一行為兩個正整數 n 和m；接下來n 行，描述這n層磚塊上的分值a[i][j],滿足0≤a[i][j]≤100。對於 100%的數據，滿足1≤n≤50，1≤m≤n*(n+1)/2；
Output
輸出文件僅一行為一個正整數，表示被敲掉磚塊的最大價值總和。
Sample Input
4 5
2 2 3 4
8 2 7
2 3
49
Sample Output
19
Http
Luogu:https://www.luogu.org/problem/show?pid=1437
Source
動態規划
解決思路
這是一道非常難想到的動態規划問題。
首先我們把矩陣左對齊，但發現如果我們直接在這個上面對行進行轉移，我們發現是不滿足轉移的有序性的，因為第i行第j列是否可以敲掉取決於上面一個倒三角是否被敲掉，比如說這個圖
1 2 3 4 5
6 7 8 9
10 11 12
13 14
15
如果我們要敲掉7，則1,2都要敲掉。如果我們要敲掉12，則1,2,3,7,8都要敲掉。這給轉移帶來了麻煩。
如何解決呢？我們發現如果第i行第j列被敲掉了，那么要求對於\(\forall k \in [1,i-1]\)，[k][j]一定被打掉了。
於是我們就想到話說這怎么想到的？把矩陣翻折過來。上面的矩陣就變成了這個樣子
1
2 6
3 7 10
4 8 11 13
5 9 12 14 15
簡單點來說，就是把矩陣沿主對角線翻折，再向下對齊
這個翻轉用程序表示就是：
for (int j=1;j<=n;j++)
for(int i=j;i<=n;i++)
Mat_new[i][j]=read();//read就是按照原矩陣的順序從上至下從左至右讀入
那么我們就可以知道，如果要選擇[i][j]，那么[i][1~(j-1)]是一定要選的，並且我們還發現，原來的選一個數需要選擇的上三角變成了更好處理的下三角。舉個例子，比如說12
在原來的圖中
1 2 [3] [4] [5]
6 7 [8] [9]
10 11 [12]
13 14
15
把圖翻折后
1
2 6
[3] 7 10
[4] [8] 11 13
[5] [9] [12] 14 15
所以，我們設F[i][j][k]表示在新圖中的第i行取前j個總共取了k個的最大的，那么我們只要枚舉上一行是由那個轉移過來的。
可以注意到，因為我們當前是在第j列，那么我們在上一行的枚舉就至少得從j-1列開始。比如上面這個12的例子，那么就至少得從數字8（第2列）開始枚舉，枚舉到數字13（第4列）
所以我們就可以的得到動態轉移方程（Arr就是我們翻轉后的矩陣）
我們發現這個算法還有改進的余地，就是利用前綴和來優化\(\sum_{l=1}^{l<=j}Arr[i][j]\)的求解。
令\(Sum[i][j]=\sum_{k=1}^{k<=i}Arr[i][k]\)，那么有
所以最終的轉移方程就是
代碼
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define mem(Arr,x) memset(Arr,x,sizeof(Arr))
const int maxN=60;
const int maxM=4000;
const int inf=2147483647;
int n,m;
int Arr[maxN][maxN];
int Sum[maxN][maxN];
int F[maxN][maxN][maxM];
int read();
void outp();
int main()
{
n=read();
m=read();
for (int j=1;j<=n;j++)//輸入，同時轉置矩陣
for(int i=j;i<=n;i++)
Arr[i][j]=read();
for (int i=1;i<=n;i++)//計算前綴和
for (int j=1;j<=i;j++)
Sum[i][j]=Sum[i][j-1]+Arr[i][j];
mem(F,-1);//置為-1，標記為不行
for (int i=1;i<=n;i++)//動態轉移初始值
{
F[i][0][0]=0;
F[i][1][1]=Arr[1][i];
}
int Ans=0;
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=0;j<=i;j++)
for (int k=0;k<=m;k++)
{
if (j<=k)//只用j<k的時候才能推
for (int p=max(j-1,0);p<=i-1;p++)//注意這里的取max，因為j為0的時候j-1是負數
if (F[i-1][p][k-j]!=-1)
F[i][j][k]=max(F[i][j][k],F[i-1][p][k-j]+Sum[i][j]);
Ans=max(Ans,F[i][j][k]);//取最大值
}
printf("%d\n",Ans);
fclose(stdin);
fclose(stdout);
return 0;
}
int read()
{
int x=0;
int k=1;
char ch=getchar();
while (((ch>'9')||(ch<'0'))&&(ch!='-'))
ch=getchar();
if (ch=='-')
{
k=-1;
ch=getchar();
}
while ((ch>='0')&&(ch<='9'))
{
x=x*10+ch-48;
ch=getchar();
}
return x*k;
}