統計0到n之間1的個數[數學,動態規划dp](經典，詳解)

問題描述

給定一個十進制整數N,求出從1到N的所有整數中出現”1”的個數。 

例如：N=2時 1,2出現了1個 “1” 。

N=12時 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。出現了5個“1”。

方法一 暴力求解

最直接的方法就是從1開始遍歷到N，將其中每一個數中含有“1”的個數加起來，就得到了問題的解。

下面給出代碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{
    int n,x,t;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            t=i;
            while(t)
            {
                if(t%10==1)
                    ++ans;
                t=t/10;
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

該算法的時間復雜度為O(N*lgN)

(注：此方法對較大的數據有可能會TL)

解法二 

1位數的情況：

在解法二中已經分析過，大於等於1的時候，有1個，小於1就沒有。

 2位數的情況：

N=13,個位數出現的1的次數為2，分別為1和11，十位數出現1的次數為4，分別為10,11,12,13，所以f(N) = 2+4。

N=23,個位數出現的1的次數為3，分別為1，11，21，十位數出現1的次數為10，分別為10~19，f(N)=3+10。

由此我們發現，個位數出現1的次數不僅和個位數有關，和十位數也有關，如果個位數大於等於1，則個位數出現1的次數為十位數的數字加1；如果個位數為0，個位數出現1的次數等於十位數數字。而十位數上出現1的次數也不僅和十位數相關，也和個位數相關：如果十位數字等於1，則十位數上出現1的次數為個位數的數字加1，假如十位數大於1，則十位數上出現1的次數為10。

 3位數的情況:

N=123

個位出現1的個數為13:1,11,21，…，91,101,111,121

十位出現1的個數為20:10~19,110~119

百位出現1的個數為24:100~123

 我們可以繼續分析4位數，5位數，推導出下面一般情況： 

假設N，我們要計算百位上出現1的次數，將由三部分決定：百位上的數字，百位以上的數字，百位一下的數字。

如果百位上的數字為0，則百位上出現1的次數僅由更高位決定，比如12013，百位出現1的情況為100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，共1200個。等於更高位數字乘以當前位數，即12 * 100。

如果百位上的數字大於1，則百位上出現1的次數僅由更高位決定，比如12213，百位出現1的情況為100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，12100~12199共1300個。等於更高位數字加1乘以當前位數，即（12 + 1）*100。

        如果百位上的數字為1，則百位上出現1的次數不僅受更高位影響，還受低位影響。例如12113，受高位影響出現1的情況：100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，共1200個，但它還受低位影響，出現1的情況是12100~12113，共114個，等於低位數字113+1。

綜合以上分析，寫出如下代碼：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<map>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<stack>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<cmath>
#define LL long long
using namespace std;
int CountOne(int n) {
    int cnt = 0;
    int i = 1;
    int current = 0, after = 0, before = 0;
    while ((n / i) != 0) {
        current = (n / i) % 10;
        before = n / (i * 10);
        after = n - (n / i) * i;
        if (current > 1)
            cnt = cnt + (before + 1) * i;
        else if (current == 0)
            cnt = cnt + before * i;
        else if (current == 1)
            cnt = cnt + before * i + after + 1;
            i = i * 10;
    }
    return cnt;
}
int main()
{
    int n;
    while(cin>>n){
        int res=CountOne(n);
        cout<<res<<endl;
    }
    return 0;
}