前言
相關概念
- 獨立重復試驗
一般地，在相同條件下重復做的\(n\)次試驗稱為\(n\)次獨立重復試驗。請注意這一概念的抽象性，比如一個狙擊手\(10\)次射擊，就可以看成做了\(10\)次獨立重復試驗；再比如取了\(5\)個相同質量的燈泡，相當於做了\(5\)次獨立重復試驗。
介紹獨立重復試驗這一概念，是為二項分布做鋪墊。
- 二項分布
一般的，在\(n\)次獨立重復試驗中，設事件\(A\)發生的次數為\(X\)，每次試驗中事件\(A\)發生的概率為\(p\)，則事件\(A\)恰好發生\(k\)次的概率為\(P(X=k)=C_n^k\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}\)，(\(k=0，1，2，\cdots，n\))，此時稱隨機變量\(X\)服從二項分布，記為\(X\sim B(n，p)\)，並稱\(p\)為成功概率。
解釋：二項展開式\([p+(1-p)]^n=1\)中，事件\(A\)發生\(k\)次，即對應展開式中的含\(p^k\)的項，其為\(C_n^k\cdot p^k\cdot C_{n-k}^{n-k}\cdot (1-p)^{n-k}\)，即\(P(X=k)=C_n^k\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}\)，
若隨機變量\(X\)服從二項分布，記為\(X\sim B(n，p)\)，則\(E(X)=np\)，\(D(X)=np(1-p)\)；
簡單應用
解析：因為\(3\)個燈泡是並聯，每個燈泡是否能正常照明是相互獨立的，不受其他燈泡的影響，所以可以看成是\(3\)次獨立重復試驗。
設這段時間內能正常照明的燈泡的個數為\(X\)，即隨機變量\(X\)服從參數為\(3\)和\(0.7\)的二項分布，即\(X\sim B(3，0.7)\)，
這段時間內吊燈能照明表示3個燈泡中至少有1個燈泡能正常照明，即\(X＞0\)，
\(P(X＞0)＝1－P(X＝0)＝1－(1－0.7)^3＝0.973\)。
故這段時間內吊燈能正常照明的概率是為\(0.973\).
①每一次射擊的事件\(A_1\)、\(A_2\)、\(\cdots\)，\(A_{10}\)之間的關系是什么？
分析：\(A_1\)、\(A_2\)、\(\cdots\)，\(A_{10}\)之間是相互獨立的。
②10次射擊中恰好前三次擊中目標(事件\(A\))的概率；
分析：\(0.99^3\times0.01^7\)，
③10次射擊中恰好最后三次擊中目標(事件\(B\))的概率。
分析：\(0.99^3\times0.01^7\)
④事件\(A\)與事件\(B\)是什么關系？
分析：互斥，
⑤10次射擊中恰好連續三次擊中目標(事件\(C\))的概率。
分析：\(8\times0.99^3\times0.01^7\)
⑥事件\(A、B\)與事件\(C\)是什么關系？
分析：事件\(C\)包含事件\(A，B\)。
⑦10次射擊中恰好有3次擊中目標的概率。
分析：\(C_{10}^3\times0.99^3\times0.01^7\)，它包含前面的情形。