獨立重復實驗與二項分布


前言

相關概念

  • 獨立重復試驗

一般地,在相同條件下重復做的\(n\)次試驗稱為\(n\)次獨立重復試驗。請注意這一概念的抽象性,比如一個狙擊手\(10\)次射擊,就可以看成做了\(10\)次獨立重復試驗;再比如取了\(5\)個相同質量的燈泡,相當於做了\(5\)次獨立重復試驗。

介紹獨立重復試驗這一概念,是為二項分布做鋪墊。

  • 二項分布

一般的,在\(n\)次獨立重復試驗中,設事件\(A\)發生的次數為\(X\),每次試驗中事件\(A\)發生的概率為\(p\),則事件\(A\)恰好發生\(k\)次的概率為\(P(X=k)=C_n^k\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}\),(\(k=0,1,2,\cdots,n\)),此時稱隨機變量\(X\)服從二項分布,記為\(X\sim B(n,p)\),並稱\(p\)為成功概率。

解釋:二項展開式\([p+(1-p)]^n=1\)中,事件\(A\)發生\(k\)次,即對應展開式中的含\(p^k\)的項,其為\(C_n^k\cdot p^k\cdot C_{n-k}^{n-k}\cdot (1-p)^{n-k}\),即\(P(X=k)=C_n^k\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}\)

若隨機變量\(X\)服從二項分布,記為\(X\sim B(n,p)\),則\(E(X)=np\)\(D(X)=np(1-p)\)

簡單應用

例1 某吊燈上並聯着\(3\)個燈泡,如果在某段時間內每個燈泡能正常工作的概率都是\(0.7\),則在這段時間內吊燈能正常照明的概率是________.

解析:因為\(3\)個燈泡是並聯,每個燈泡是否能正常照明是相互獨立的,不受其他燈泡的影響,所以可以看成是\(3\)次獨立重復試驗。

設這段時間內能正常照明的燈泡的個數為\(X\),即隨機變量\(X\)服從參數為\(3\)\(0.7\)的二項分布,即\(X\sim B(3,0.7)\)

這段時間內吊燈能照明表示3個燈泡中至少有1個燈泡能正常照明,即\(X>0\)

\(P(X>0)=1-P(X=0)=1-(1-0.7)^3=0.973\)

故這段時間內吊燈能正常照明的概率是為\(0.973\).

引例 比如,某狙擊手連續射擊\(10\)次,每次擊中目標的概率為\(0.99\),試回答以下問題:

①每一次射擊的事件\(A_1\)\(A_2\)\(\cdots\)\(A_{10}\)之間的關系是什么?

分析:\(A_1\)\(A_2\)\(\cdots\)\(A_{10}\)之間是相互獨立的。

②10次射擊中恰好前三次擊中目標(事件\(A\))的概率;

分析:\(0.99^3\times0.01^7\)

③10次射擊中恰好最后三次擊中目標(事件\(B\))的概率。

分析:\(0.99^3\times0.01^7\)

④事件\(A\)與事件\(B\)是什么關系?

分析:互斥,

⑤10次射擊中恰好連續三次擊中目標(事件\(C\))的概率。

分析:\(8\times0.99^3\times0.01^7\)

⑥事件\(A、B\)與事件\(C\)是什么關系?

分析:事件\(C\)包含事件\(A,B\)

⑦10次射擊中恰好有3次擊中目標的概率。

分析:\(C_{10}^3\times0.99^3\times0.01^7\),它包含前面的情形。


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